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设x-y坐标中大圆半径为2a,若任意弦长大于内接正三角形边长的概率为1/4,则弦的中点在三个坐标系的分布情况如下:
第一图是r-θ坐标系,中间的竖线为r=a,此时弦长为内接正三角形边长。r>a的部分点的密度较大,意味着弦长小于内接正三角形边长的概率较大。
第二图是x-y坐标系,点是均匀分布的,
第三图是φa-φb坐标系,点不是均匀分布的。
在x-y坐标中,y值相同的点构成了直线系y=b,b为常数。
这些直线在r-θ坐标系中,构成了曲线系r|Sin[θ]|=b。
在φa-φb坐标系中构成了曲线系a(Sin[φb]+Sin[φa+φb])=b。如梯田一般的图形。
在x-y坐标中,x值相同的点构成了直线系x=b,b为常数。
这些直线在r-θ坐标系中,构成了曲线系r|Cos[θ]|=b。在直角坐标系里旋转90度相当于在r-θ坐标系中沿θ的方向平移了π/2。
在φa-φb坐标系中构成了曲线系a(Cos[φb]+Cos[φa+φb])=b。线系在φb方向上平移了π/2。
Mathematica程序:0.2、1可以修改,改为1、1或1、0.2就能得到这9个图像
另外两种:
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