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走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（二：曲面研究）
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------三维流形中一个划时代证明的故事
作者：Erica Klarreich 发表：SimonsFoundation.Org 时间：2012年10月2日 翻译：杨文元
【译者注】这是翻译自Erica Klarreich发表在SimonsFoundation的一篇科普文章“Getting Into Shapes: From Hyperbolic Geometry to Cube Complexes and Back”。这篇文章通俗地详细讲述了近10多年来三维流形的研究背景和重大的进展，和一大批数学家为完善Thurston的研究纲领而所发生有趣的激动人心的故事。译文较长，计划分六次贴出，方便阅读。第一次做翻译，限于文字水平有限，这已是我竭尽所能译出，敬请方家指正。
【目录】
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（一：总览）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（二：曲面研究）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅 （三：第三维）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（四：覆盖空间）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（五：构造曲面）
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅（六：终结篇）
曲面研究
一个世纪前，数学家们对二维流形成功地进行了几何化的分类研究。Thurston的纲领正是试图对三维流形做同样的事情。因此作为热身，让我们先对紧致的可 定向的曲面的分类作一探究。（紧致的可定向的曲面是指有限的没有洞和切口的曲面，并且曲面上可以赋予一个一致协调的方向）。
为了研究曲面的分类, 数学家们证明了对于任意一个曲面, 我们可以通过沿着一些曲线去一步步地剪开它直到曲面被完整展开而成一个平面多边形。
对于环面, 这是很容易看到该如何去剪: 首先如图1所示沿着闭曲线A剪开, 这样产生了一个圆柱面，接着再从闭曲线B割开, 这样把圆柱面便展开为长方形了。对于图2中的”双环面”(即带两个”洞”的环的表面), 稍困难一点但仍然可以沿着四条闭曲线把它剪开成为一个八边形。一般地, 对于有n个洞的环的表面, 我们可以沿着2n条闭曲线去把曲面展开成一个4n条边的平面多边形。
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| 图1：沿着闭曲线A切开环面得到圆柱面，继续沿着闭 曲线B切开就把圆柱面展开成一个正方形 |
图2：沿着闭曲线A, B, C和D切开就得到了一个八边形。 |
对于任意的一个(有限的)曲面, 我们总可以去用类似的方法去剪开它。假定该曲面不是球面, 拓扑学家证明了在曲面上一定存在着嵌入的(即不自我相交的), 同时不可以收缩成一点的闭曲线, 类似于环面上的闭曲线A和B那样。沿着其中一个闭曲线割开曲面也就简化了曲面的一些拓扑特征。数学家们证明了只需要有限次这样的分割, 我们就可以最终把曲面变成一个平面多边形。
现在假设已经把我们要研究的类型未知的曲面割开成了一个多边形, 那么接下来, 我们会比较容易看到当我们重新粘合多边形相应的边去复原原来的曲面时, 我们必然只能得到环面, 双环面, 三环面等这样类型的曲面。事实上, 第一次的粘合把平面多边形变成了一个像管道一样的曲面, 接下来每次的粘合在原来的基础上或者引入了新的类似管道样的把手, 或者只是”缝合”了一些敞开的管道的两端的边界。当我们完成粘合以后, 结果就得到了一个环面或者是带若干”洞”的的环面。(译者注: “洞”就是在所谓闭合管道的两端时形成的)。
如上的方法不仅证明了任意一(有限的)曲面都是拓扑等价于一个球面或者类环面的曲面, 它同时也给出了一个在曲面赋予一个一致的几何结构的方法。
一个球面当然上面已经有了一个一致的几何结构: 当你站在该曲面上它的几何看起来到处是一样的。相反地, 一个轮胎的表面看起来却离一致性很远: 轮胎的靠外的区域弯曲地像球面那样, 但是靠内的区域则弯曲的更像一个马鞍面的形状。
无论在我们空间中如何放置一个环面---允许你去任意地拉伸和变形---你还是没有办法把环面上每一点变得有一致的几何：一些部分弯曲地像球面, 而一部分像马鞍面, 甚至一部分还是平坦的。
但是, 我们却可以在环面上赋予一个抽象的几何结构以使得在每一点处的几何都是相同的： 我们在环面上每一个很小的区域内假定它的距离和角度是和前面用来构造环面的长方形上的距离和角度是一样的。当然刚才的假定在我们通常的三维空间中是无法物 理上来实现的，但是如此定义的距离和角度却是内蕴一直并兼容的。因为长方形有着我们通常意义下的欧氏几何, 我们也因而说环面上赋予了一个欧氏几何结构。赋予了欧式几何的环面很类似于一个视频游戏(译者注: 贪吃蛇游戏?): 当一个生物从屏幕的右边离开, 那么它从屏幕的左边出现, 当它从屏幕上边离开, 它又会从屏幕底端冒出来。
但是当我们也试图对双环面做相同的操作时，我们就遇到了障碍。回想我们可以通过粘合一个平面多边形的边来得到一个双环面。如果我们想去用平面八边形内的（即 欧式）几何来赋予双环面上的几何时，我们就会发现在八边形的顶点处遇到了问题。当平面八边形粘合成为双环面的时候，所有的顶点就被粘合成为双环面上的一个 点。因而八边形的8个顶点的相应区域将顺序环绕该双环面上的那点。这样由于每个区域将贡献出135°的角度，8个顶点区域便总共形成了1080°的角度， 这与通常认为的一个点周围应环绕360°的事实相违背。
因此假设我们可以给双环面一个与平面八边形内相同的几何结构的话，我们将最终只能得到一个除去一点以外才具有欧氏几何的双环面。该点周围的曲面形似一个顶上 有纽扣的帽子。（当我们在粘合长边形的时候，这个问题并不存在：因为我们把4个角度为90°的顶点区域粘合得到正好是360°的角度。）
为了双环面的该粘合点处得到光滑的几何结构，我们需要该八边形的每个顶点区域仅贡献出45°的角度大小，而不是135°。令人欣慰的是，这样的八边形确实存 在，但并不是存在于欧氏平面之上，而是存在于另外一种几何结构中，称之为“双曲圆盘”。所谓的双曲圆盘和球面几何或欧式几何一样，是一种一致的内恰的几何 形式。但是这种几何更难形象化，也因此直到19世纪早期才被数学家们发现和开始认识。
大致而言，双曲几何就是这样一种几何结构，使得图3中的所有的鱼在该几何结构下大小是相同的。图3可以认为是通过某种透镜看到的双曲圆盘的图像，在这样的图 像上会使得靠近圆盘边界的鱼远小于中心的鱼的大小。而真实的双曲圆盘其实是透镜的前边的世界，在那里所有的鱼大小都是一致的。
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图3：在双曲几何结构下，所有的鱼大小都是一样的。沿着鱼的脊 梁穿过的曲线是双曲直线，或者说“测地线”。（图片提供： Douglas Dunham明尼苏达大学德鲁斯分校） |
事实上我们的空间中不存在一种方式来构造一个光滑的双曲圆盘，使得鱼大小看起来都一样。但我们再次需要强调的是，抽象地看，这种鱼大小改变的规则实际上对应着一种内恰的每点处的看起来都一致的几何---当然这不是从可以改变大小的透镜去看，而是从一个生活在双曲圆盘的生物的视角去观察的。
在双曲几何中，两点之间的最短路径，或者说“测地线”是一条可以穿过最少的鱼来从一点到达另外一点的路径。这样的路径被证明恰恰总是与圆盘边界正交的半圆 圈。比如通过鱼的脊椎的半圆圈就是这样路径。从我们这些外部透过透镜的角度去看，这些路径是弯曲的，但是从内部视角看的话，这些路径都是“直线”。“在这 样的路径上驾车，你是永远不用担心要拐弯的"，Thurston经常这样描述。在欧氏平面上，平行线之间总是保持相同的距离；但在双曲圆盘上，两条不相交 的线可以彼此分开地越来越快。从双曲几何的视角看，图4中的形状都是正八边形。其中的一个八边形中，所有的角度都是45°---这正好是我们为构造双环面 所需要的多边形。如果我们恰当地粘合这个八边形的边，结果就会得到一个双环面并且上面带有一致的双曲几何结构。
类 似地，我们也可以赋予三环面一个双曲结构。一个三环面可以通过粘合一个12边形的边来得到。如果我们可以构造一个双曲的12边形并且每个角都是30°的 话，那么它上面的双曲几何就自然地赋予到了三环面上了。延续同样的方法，我们就可以赋予四环面，五环面等等曲面一个双曲结构。因此我们的紧致曲面的分类也 即变成了带球面几何的曲面（球面），带欧氏几何结构的曲面（环面），和无限多个带双曲结构的曲面（所有带有多于一个洞的环的表面）。
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图4：双曲空间中的正则八边形的内角可以取0°和135°之间的任意值，图中描绘了几个正则八边形。棕色的八边形每个内角都是45°，正好可以粘合形成一个具有光滑的双曲结构的双环面。（图片提供：Silvio Levy） |
在过去的一个世纪以来，这样的分类已经卓有成效地帮助数学家们去转化曲面上拓扑问题为几何问题，或者反其道为之。曲面的分类被证明是二维物体形状研究中一个很重要的成果，后续的研究都以之为出发点。
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