借助数理概念聊一点音乐知识：和谐

读到本家张伟伟的博文“借助力学概念学一点音乐知识：律制”（链接：http://blog.sciencenet.cn/blog-847068-1037558.html），感觉写得不错，五度相生和三分损益、纯律和十二平均律都说到了。借用一下他的题目，抽了点空根据自己的体会再发挥一下。

有了音律或音阶，下一步就碰到音阶的和谐问题了，这当然是领导首先要考虑的，但也是音乐家或作曲家每天面对的。张伟伟觉得“和谐应该是人的一种感觉”，这无疑是十分正确的。作为一个不懂但又喜欢音乐的理工男，聊一聊这种“感觉”的“数理基础”也很有趣。根据前文，总的来说由五度相生、三分损益及纯律得到的许多音阶的波长或频率之比都是其分子和分母可以用整数表达的分数，这就是和谐的基础。拿频率来说，电子学里常说到倍频程、二次谐波、偶次谐波、高次谐波等等，倍频程或二次谐波就是纯八度或高八度，4次谐波就是两个倍频程或两个“高八度”，这是常识。再例如，2/1、3/2、4/3、5/4、6/5，5/3，8/5……这些频率关系其实也就代表了一些不同音阶之间的距离或频率差别，音乐家们称之为音程，以“XY度”来计算。同度（纯一度）不用说了，频率相差2/1、3/2、4/3是纯八度、纯五度和纯四度，5/4和6/5是大三度和小三度，5/3和8/5是大六度和小六度。这些说法本身都有点约定俗成的意思，纯四加纯五并非纯九而是纯八，大三加小三不是大六也不是小六而是纯五，小三加大六或大三加小六倒也是纯八。是不是有点搞？做乘法再用加法又不取对数当然会有点搞，所以人家音乐学院也得上课不是？反正习惯了就不会搞错。一个倍频程按12个音阶就是12个半音程或12个小二度，也就是6个全音程或6个大二度。比纯八低小二是大七度，低大二就是小七度了，最后一个，比纯四高小二或比纯五低小二应该是一样的，称为增四度或减五度，至此12个音就凑齐了。清楚一点可以看下面的表。

有了这些背景就可以聊聊和谐问题了。和谐就是个感觉而已，和而不同嘛，自己和自己和（纯一度）没啥意义，不同才有和的价值。和也是有些数理基础的，看看上面的表，五度相生、三分损益和纯律对前面7个音程（同度除外）的定义好像并无差别，都是相当简单的整数比，并且越靠前越简单，当相差这个音阶的两个音或按此频率比的两个声波振动同时被人感知时，确实也是越简单感觉越和谐，这应该已有共识，简单就是美，古人们也英雄所见略同？再细看，大部分弦乐器都是按纯五度定弦的，听起来纯五确实也比纯四要和谐一点；据说大三比小三耳朵听起来亮一些，那大三应更和谐一些；大六嘛看上去也比小六和谐一点，听起来也更亮一点。常说纯音程和大小三六度是协和音程就是指这7个。后面5个音程，几种律似乎有点小差别，其实如果只追求尽量简单些的整数比的话，我们也可以根据前面7个自己把后面5个凑出来，这样也整个律出来就叫“和谐律”好了（未仔细比对，如有雷同纯属巧合）。像大三和小三不就差个小二吗？除一下得到16/15；纯五和纯四差个大二，除一下得到9/8；纯五叠个大三就是大七，乘一下就是15/8；增四就算两个小三，乘一下36/25好了。这样的律至少表面看上去也是有一点和谐的，但总体来说，后面这5个看起来就不如前面7个顺眼，怎么整也都白搭，不太和谐，所以连音乐家都把它们叫不协和音程。能不能定义出一个和谐指数呢？分子和分母直接加一下倒一下再乘个2归一化，数值越大越和谐？虽没听过这样的说法，但看看倒也差不多。按此也大六比大三和谐一点，似乎也有这样的说法，见仁见智。

再说说十二平均律，虽然确实又均匀又方便，但这12个音阶除了纯八都是些无理数，怎么个和谐法？这就要说到测量的精度和误差了。音程是个相对值，大部分人（五音不全的除外）对声音的相对音高（频率）或两个音的差别还是比较敏感的，因此最小的小二度也还被细分成100个音分，这样一个倍频程就是1200分。这个用十二平均律比较好算， 差1个音分是大约1.0006倍，在小数点后面第四位上了。 测量仪器呢？实际主要就是人的耳朵。据说普通人（五音全的）大概20分以下也就不能分辨了，这样用十二平均律该和谐的也就都和谐了；音乐家嘛敏感一些，算10分以内吧，也许有人会有点感觉但问题也不大；据说有人能分辨2-3分甚至1分，这样就会有相当的感觉了，但这样的人毕竟只是极少数。况且，乐器制造和调音时也不会严格按十二平均律去调，而往往是调的“和谐”一点，只要误差不积累，高八度都按倍频程就好了。大部分人其实对绝对音高（频率）并不敏感，所以无伴奏合唱时要先起个调调感觉一下好记住了，不然大家同时一张口难免各唱各的。有个好办法是先张口不发声然后再跟着唱，这样保证没问题，问题是要大家都不发声那就麻烦了。也有少数人对绝对音高很敏感，有所谓绝对辨音力可以张口就来，这是题外话了。

音阶的和谐有什么实际用处呢？无非是取悦耳朵咯，当然乐器调音时也会用到。弦乐器的两根弦是不是相差纯五度只要同时拉这两根空弦，听同时发声和谐不和谐就知道调没调准，这样提琴的四根弦只要先定准一根的绝对音高，其他3根可以马上调好，当然前提是都得先在纯五度附近，要不然就可能跟人家去和谐了，这个情况菜鸟也可能会碰到；过去的钢琴调音师只用一两根标准音叉就可把走了音的钢琴整个都调好，那也是要靠听和谐，但首先得有个好耳朵。现在有了电子调音器，一个小盒子装上两节电池就可以直接精确测量音高（频率），耳朵也不用了直接用麦克，还可直接调出每个标准音高数据进行比对，眼看手调很容易就能调到几分之内，精确地按十二平均律调也没问题，更别说电子乐器连调都不用调啦。顺便说一句电子乐器也是要有个频率标准的，也许是个石英振荡器，也就相当于一根标准音叉。

古人对音律还是挺重视的，不只为了悦耳好像还关乎社稷，像历法一样花了许多心思，皇上的编钟编磬和他的鼎一样也是不能问的，回去时还要带走，但和谐还是基础，曲子也要中规中矩，靡靡之音不行。到了现代，作曲家劳心，指挥家劳力，演奏家小人，歌唱家君子，他们是不是老和谐也有点审美疲劳了，为了创新就会有人搞点不和谐的出来，但能欣赏的并不多，也许时间久了才会习惯。突发奇想超前一步，能不能干脆把Ö2、Ö3、Ö5、Ö7、e 、p…这些都用上整个“不和谐律”出来试试？也算是个颠覆创新。这个要做成固定音高乐器估计很麻烦，不固定音高的乐器上现在也没人能奏，但在计算机上也许不难，可以用它写个曲子先试试，再找作曲家和演奏家先听几天看看效果。