群加公式：星系群的内落与膨胀

从 turnaround 零速度面到远区和谐运动

摘要　星系群和星系团的外围径向运动同时呈现向中心内落与向外膨胀的趋势。本文提出群加公式（Galaxy Group Acceleration Equation，GGAE），以本征加速度场为出发点，用统一的径向动力学结构描述内落、零速度面与远区膨胀。群加方程取 α=Br(r−R)/(r+c)，并选定零速度边界 V(R)=0。由此得到可检验的径向速度解；对于向外运动分支，极远区有 V(r)∼B r 和 H∞=B，从而赋予 B 远区渐近膨胀频率平方的意义。本文总结 Virgo 星系团、玉夫座 NGC 253 星系群及本星系群的观测背景与探索性预测结果，明确区分群加公式的线性特例与早期对数型速度模型，并讨论严格的独立检验条件。

关键词　群加公式；本征加速度；turnaround；零速度面；星系群；局部哈勃流；远区和谐运动

一、引言：星系群的内落与膨胀

在引力束缚结构附近，星系的相对运动不等同于均匀宇宙中的纯哈勃流。靠近群心的星系可能内落，距离较远的星系则可以随周围宇宙的膨胀而外流。观测上，人们常通过群心径向速度与距离之间的关系，识别内落区域、零速度面及外流区域。

这种现象提出一个动力学问题：能否不预设分段的经验速度函数，而是先建立加速度场，再从同一方程导出内落与膨胀的速度结构？本文以此为目标，引入群加公式，并以可观测的零速度边界及远区膨胀频率作为检验对象。

二、群加公式及其参数

本文提出的群加方程为

这里 r=||；B>0 为加速度系数，R>0 为加速度变号半径，c≥0 为过渡尺度。相应径向分量为

当 0<r<R，αr<0，加速度指向群心；当 r=R，αr=0；当 r>R，αr>0，加速度向外。必须指出，加速度的方向并不单独决定瞬时速度的方向：实际内落、外流还依赖运动分支和初始条件。

三、turnaround 半径与 V(R)=0 的边界条件

对纯径向本征运动，使用 =V dV/dr，得到

积分后

其中

满足 F(R)=0，并且

在 B>0,R>0,c≥0 且 r≥0 时，F(r) 于 r=R 取得全局最小值零。取边界 V(R)=0，便有 C=0，因此 V2(r)=BF(r)≥0。若同时要求整个物理半径区间速度平方非负且至少存在一个零速度点，那么 C=0 是必要且充分的，零速度点只能在 r=R。如果不要求全域实数速度解，C<0 也可在部分区域产生零速度点；如果只要求全域实数速度解，则 C>0 亦可行，但没有零速度点。

这一数学结果表明，V(R)=0 不只是消除积分常数的便利选择，而是选取零速度点与加速度变号点重合的特定临界运动分支。真实天文学的 turnaround 通常定义为相对于所选质心的径向速度为零，其位置是否同时满足瞬时径向加速度为零，是群加模型需要接受观测或动力学重建检验的额外假设，不能视为 turnaround 定义本身。

四、群加速度公式

在边界 V(R)=0 下，由式（4）得到

对于外区取外流正分支、内区取内落负分支，可写为

须说明：积分给出的是速度平方，选定符号才确定运动方向，且零速度面上的分支拼接需满足对应轨迹的动力学条件。

当 c=0 时，出现精确的线性特例：

这说明线性速度—距离关系是群加模型的一个特例，不是与群加毫无关系的另一经验公式。相反，若要论证 c>0 的物理价值，就必须证明它在独立数据上提供线性特例所不能给出的预测改进。

五、B 的物理意义：远区和谐运动

当 r≫R,c，有

对于向外运动分支，由式（7）可得

定义相对于指定星系群中心的径向膨胀频率：

进而得到

更精细的远区展开是

因此在此模型的渐近外流区域，速度随着 r 增长，但膨胀频率趋向有限常数，其径向变化率趋于零。本文将这一性质称为远区和谐运动。它是群加方程的数学预测，并不意味着不同星系群各自不同的 B 已被天文学观测确认。

在 SI 单位制下，[B]=s⁻²。如果以 km s⁻¹ Mpc⁻¹ 表示 H，则 B 可以表示为该单位的平方。应明确区分：模型定义的群心径向 H(r)、有限距离样本的速度—距离回归斜率、宇宙学尺度因子的 H(t)=/a，三者一般不能直接等同。

六、群加频率演化方程

由 V=Hr 求导，与式（2）联立，便有

若速度场可近似看作稳态且单值的径向流，则沿星系轨迹 =Hr dH/dr，进而有

当 r≫R,c 时，≃B−H²，正的平衡值为 H=sqrt(B)。这里的稳定性属于此径向动力系统；与真实宇宙不同时代的膨胀历史相联系，还需单独建立宇宙学模型。观测中可以直接获得距离和速度，而 通常需要在稳态流假设下，由速度的空间梯度间接重建，不能当成逐星直接观测量。

七、三个星系群的群加速度预测：冻结参数与跨对象检验

群加公式不仅给出零速度面和远区渐近膨胀规律，还必须能够定量预测未参与定参的星系运动。本章统一采用正式群加方程 α⃗ = B[(r−R)/(r+c)]r⃗，及其零速度边界 V(R)=0。采用该条件的径向积分解为 V² = B{(r−R)²−2c(r−R)+2c(R+c)ln[(r+c)/(R+c)]}。对于本章已有的可复核数值试验，最佳拟合均位于 c=0 的线性特例，即 V(r)=√B(r−R)；因此这些预测检验的是群加公式的线性分支，而非已经证实 c>0 的非线性结构。

所谓“冻结预测”，指先用指定训练星系确定参数，再保持参数不变计算另外的候选星系。以下分别列出训练样本、参数、逐星预测及误差，并在每组结果之后说明数据参考系、几何投影和独立性方面的限制。

7.1 Virgo 星系团：28星定参与7星冻结预测

依据 Karachentsev 等（2018）表3所列28颗星系的群心距离及 Minor/Major 两套速度定义，使用群加公式 c=0 特例分别拟合 √B 和 R，随后固定参数预测另外7颗候选星系。

重要结果：在参数完全冻结后，7星预测误差与28星训练误差同一量级，说明由群加线性分支确定的速度关系在候选样本上保持了初步预测相容性。

验证限定：这7星存在偏正的系统残差；不同研究中的距离零点、速度参考系、Minor/Major 投影和与原28星的星系交叉匹配尚需统一。当前应称为“探索性候选留出预测”，不能称为完成严格独立盲检。

7.2 玉夫座 NGC 253 星系群：正式群加方程的冻结预测

玉夫座是第三个已经取得群加速度预测数字的系统。本次直接采用正式群加方程，不借用早期对数速度方程的参数和预测误差。依据 NGC 253 周围星系的独立距离、视线速度及几何投影，以5颗外围星系拟合群加参数，并将另外2颗星系留出检验。

零速度半径 R=0.70 Mpc 取自外部观测文献而非本轮5星自行估计；优化 √B 和 c 后得到 √B=175.74 km/s/Mpc、B≈30,886 (km/s/Mpc)²、c=0（边界）。训练样本的视线速度残差 RMSE=46.13 km/s。

在上述参数不变的条件下，对ESO 349−031及NGC 7793作视线速度差预测。下面的预测量是相对于NGC 253的径向流经过几何投影得到的视线分量，不是星系的直接三维速度。

上述速度与残差单位均为 km/s。两颗星系的冻结预测 RMSE=20.86 km/s，低于5颗训练星系的 RMSE=46.13 km/s。这是玉夫座采用正式群加方程得到的、具有明确训练/检验划分的预测结果，应该作为本章的核心成绩之一。

另将未参加定参的 PGC 704814 作为低权重压力测试：预测视线速度差 +0.97 km/s，观测 +29.43 km/s，残差 +28.46 km/s。计入这颗星系后，3星预测 RMSE≈23.67 km/s。但该星系速度测量误差约89 km/s，因此不能视为高精度预测对象。

验证限定：此次R借助了文献零速度半径，c在0的约束边界；两颗留出星系的视线投影较弱，尤其NGC 7793。因此20.86 km/s仍是事后划分样本的探索性冻结预测，而不是完整三参数方程的严格盲检。它可以证明“群加在玉夫座已有数值预测”，但尚不能证明非零c获得额外预测增益。

为防止历史记录混淆：早期对数型速度方程曾报告“10星训练 RMSE≈48.7 km/s、5星留出 RMSE≈24.7 km/s、8星再检验 RMSE≈37.2 km/s”。那是另一条速度方程的成绩，不应与本节正式群加模型的“5星训练、2星冻结预测 RMSE=20.86 km/s”合并或互相替代。

7.3 本星系群：30星定参与9星候选冻结预测

采用 Karachentsev 等（2009）提供的30颗本星系群外围星系距离与速度数据，利用群加公式 c=0 特例进行定参，得到 √B=112.91 km/s/Mpc、R=1.007 Mpc，训练 RMSE=28.30 km/s。冻结参数后，对9颗后续候选星系（其中部分超出原训练样本约3.0 Mpc上限）预测速度，得到 RMSE≈24.5 km/s。

其中，KK 258 和 KKs 3 的候选冻结预测残差分别约为 −0.5 km/s 和 −38.7 km/s；其余对象分布于约2.2–3.4 Mpc。训练与留出误差相近，属于值得重视的跨对象速度预测迹象。

验证限定：上述训练与后续检验沿用直接比较 D_LG / V_LG 的简化处理，并非逐星完成统一的本星系群质心三维径向速度投影。训练/候选列表的重叠也应再交叉核查。此前的五折比较得到 c=0 的 RMSE≈29.79 km/s、c自由约29.82 km/s，尚未证明非零c可提升预测。

7.4 三群群加预测成绩总表

注：RMSE单位为 km/s。玉夫座3星行包含测速误差较大的 PGC 704814。各群训练口径和速度投影不同，不能据此直接比较哪个群的动力学“更好”，也不能用样本内拟合和探索性留出误差代替标准化独立盲检。

本章的实质性成果是：同一群加加速度结构的 c=0 分支，已在 Virgo、玉夫座和本星系群的候选观测集合中给出具名对象、冻结参数和量化残差的预测。尤其玉夫座2星 RMSE=20.86 km/s 是正式群加方程的结果，不能再误归属于对数型速度方程。下一步应当统一群心径向速度投影，并在更宽半径上检验 c>0 时的曲率及 H(r)→√B 的远区预言。

八、判别性检验与模型边界

群加公式不仅要复现现有速度数据，还必须面对与其他动力学描述之间的明确区别。

第一，应从训练样本独立确定 B,R,c，严格冻结参数，预测不参与定参的星系，并以相同数据口径比较线性哈勃流及标准球对称落入模型。

第二，应检验零速度半径与本征加速度变号半径是否重合。观测给出的 turnaround 半径是速度定义；加速度零点与之重合属于附加物理预言，而非定义上的恒等式。

第三，应在远于训练区的范围测量 H(r)=V(r)/r，检验其是否按式（14）的趋近形式接近 B。任何关于不同星系群具有不同“极远区哈勃频率”的结论，都必须与足够大尺度的宇宙学统计均匀性相协调。

第四，群心径向加速度、星系特有运动、距离误差和非球对称环境可能相互耦合。在真实星系群并合、纤维流、卫星轨道或非稳态情形下，单中心纯径向方程有其适用边界。

九、结论

本文建立并讨论了群加公式：

该模型把径向加速度的内外变号、选定运动分支上的零速度面及远区膨胀纳入统一的数学结构。在 B>0,R>0,c≥0 的条件下，零速度边界选取了速度平方全域非负且存在零速度点的临界分支。进一步，外流分支在远区满足

由此，B 不再只是一个形式上的加速度参数，而成为模型渐近膨胀频率的平方；R 与 c 分别描述动力学转折位置和径向过渡形状。

Virgo、本星系群和玉夫座的初步观测与数值研究，显示这一路线具有继续检验的价值。其中 Virgo 和本星系群的线性特例已有冻结参数的候选预测结果，但完整非线性群加公式还不能宣称完成跨星系群的独立验证。未来只有在统一投影、冻结定参和远区盲检条件下，才可能把数学上的“远区和谐运动”提升为可靠的物理规律。

群加公式的目标，是从本征加速度出发，研究星系群的内落、turnaround 与远区膨胀是否遵循统一的动力学机制。

参考文献

Karachentsev, I. D., et al. (2003). The Sculptor group of galaxies. Astronomy & Astrophysics, 404, 93–111.

Karachentsev, I. D., Kashibadze, O. G., Makarov, D. I., & Tully, R. B. (2009). The Hubble flow around the Local Group. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 393, 1265–1274.

Karachentsev, I. D., et al. (2018). TRGB distances to galaxies in front of the Virgo cluster. Astronomy & Astrophysics.

Karachentsev, I. D., et al. (2021). Distance and Mass of the NGC 253 Galaxy Group. The Astronomical Journal, 161, 205.

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