摘要

牛顿万有引力定律建立了引力加速度与质量成正比、与距离平方成反比的基本关系。然而，在星系、星系群和星系团等巨大天体系统中，按照可观测重子质量计算的牛顿引力，往往不足以解释实际观测到的运动状态。这是现代天文学提出暗物质假说的重要原因。

本文从本征力学出发，提出以重子质量平方根为基本动力学尺度的本加公式：

A = β√M

并提出三维本征加速度规律：

α = −β√M/r

其中，M 为所研究天体系统的总重子质量，β 为候选普适本加系数，r 为距离系统动力学中心的距离，负号表示加速度指向中心。

这一规律与牛顿平方反比律不同，它规定加速度与质量平方根成正比，与距离成反比。其圆轨道解自然具有平坦速度，其三维中心场则允许不同方向、不同角动量及不同偏心程度的轨道运动。

本文着重讨论这一候选规律在星系、星系群和星系团中的应用，重点研究约一千光年至数百万光年的空间尺度，并介绍已有跨尺度检验的初步结果、与现有理论的联系及尚待解决的问题。

关键词： 本加公式；本征加速度；万有引力；GRoDE；暗物质；星系群；星系团；平坦速度

一、牛顿万有引力定律面临的宏观动力学问题

牛顿万有引力定律可以写成：

g = −GM/r²

其中，G 为万有引力常数，M 为中心质量，r 为径向距离。

这一规律成功描述了太阳系中的大量运动现象，是经典力学的重要基础。

但是，在星系及更大的天体系统中，情况变得复杂。

大量旋涡星系的外围旋转曲线并不像简单的中心点质量模型所预期的那样随半径持续下降，而是表现出近似平坦的速度分布。

如果仅考虑集中的重子质量，牛顿理论给出：

V² = GM/r

因此：

V ∝ r⁻¹ᐟ²

而在许多星系的外围，实际观测更接近：

V ≈ 常数

标准宇宙学通常引入暗物质晕，以解释这种质量与运动之间的差异。

暗物质模型还得到宇宙微波背景、大尺度结构形成以及引力透镜等多类观测的支持。因此，星系旋转曲线问题不能单独决定暗物质是否存在。

但它仍然提出一个值得研究的问题：

是否存在另一种直接联系可观测重子质量与宏观运动的动力学规律？

本加公式正是在这一问题背景下提出的。

二、本加公式：质量平方根律

本文提出：

A = β√M

其中：

A——本征动力学速度平方尺度；

M——天体系统的总重子质量；

β——本加系数。

在天文学单位下，β 的单位为：

(km/s)² / √M☉

此前对规则旋涡星系的探索性研究，提出一个候选参考值：

β ≈ 0.145

该数值目前仍需依靠统一的观测样本、距离标定和重子质量预算进一步检验。

本加公式最突出的特征，是动力学尺度 A 不与质量 M 成正比，而是与其平方根成正比。

即：

A ∝ √M

质量增加一百倍，A 只增加十倍。

这一关系与牛顿中心质量参数 GM 的质量依赖具有明显区别。

值得特别强调的是，本加公式中的 M 指总重子质量，不需要在公式中加入由标准暗物质模型推断的暗晕质量。

三、候选的新万有引力加速度规律

由本加公式，可以提出：

α(r) = −A/r

代入 A = β√M，得到：

α(r) = −β√M/r

这是本文讨论的核心动力学关系。

它具有三个基本特点。

第一，引力加速度与重子质量的平方根成正比。

第二，引力加速度与距离成一次反比。

第三，加速度指向系统的动力学中心。

与牛顿规律比较：

本加规律并不要求天体系统必须形成二维旋转盘。

对于具有明确动力学中心、可以采用球对称近似的系统，其三维矢量表达为：

α(r) = −[β√M/r²]r

对应的本征运动方程为：

d²r/dt² = −[β√M/r²]r

这一形式给出了可以研究三维轨道运动的明确数学起点。

需要说明，这里使用总重子质量 M 描述整体中心场，主要作为中心区域之外的有效动力学模型。对于具有广泛质量分布、显著三轴结构或多个动力学中心的系统，还需要进一步建立质量分布与本征场之间的关系。

四、平坦速度是本加规律的自然结果

对于圆周运动，向心加速度为：

V²/r

将其与本加场加速度大小对应：

V²/r = β√M/r

立即得到：

V² = β√M

因此：

V = √β × M¹ᐟ⁴

或：

V⁴ = β²M

由此可见，在本加中心场的圆轨道解中，速度与半径无关，而由总重子质量决定。

这意味着平坦圆周速度不是额外添加的经验假设，而是该候选本征场的直接数学结果。

这一关系与天文学中的重子 Tully–Fisher 关系具有相同的四次方标度。

不过，平坦圆周速度与星系群、星系团中观测到的随机运动速度弥散不是同一个物理量。要解释三维随机运动，需要进一步考虑轨道分布。

五、三维中心场允许复杂轨道运动

对于本加三维中心场：

d²r/dt² = −(A/r²)r

因为加速度始终沿径向，中心力矩为零。

因此，比角动量矢量守恒：

j= r × v= 常矢量

这意味着，不同成员天体可以具有不同的轨道平面。

在同一中心本征场中，既可以存在圆轨道，也可以存在偏心轨道。

相应的本征势函数为：

Φ(r) = A ln(r/r₀)

其中 r₀ 是参考尺度。

对于具有非零角动量的有界运动，轨道通常表现为进动的非圆轨道，而不是严格闭合的开普勒椭圆。

因此，大量成员星系可以在同一个三维中心场中形成复杂的空间运动结构。

这为研究星系群和星系团提供了新的动力学切入点。

三维随机运动，并不要求每颗成员星系受到不同形式的基本动力学定律支配。

它们完全可能在共同中心场中表现出不同的运动状态。

六、星系：本加规律的第一类应用对象

旋涡星系的外围平坦旋转曲线，为本加公式提供了最直接的应用场景。

在这种情况下：

V_flat⁴ = β²M

只要知道系统的重子质量，并给定普适本加系数，就能够预测其外围圆周速度尺度。

对于存在明显中心结构的旋涡星系，完整的 GRoDE 模型仍可以采用具有核心半径的形式：

V²(r) = Ar²/(r²+c²)

其中 c 为核心尺度。

当 r 远大于 c 时：

V²(r) → A

对应的远区本征加速度趋于：

α(r) ≈ −A/r

由此可以把有核 GRoDE 和理想远区本加场联系起来。

对于星系中心区域，核心结构、核球、恒星盘及气体分布都可能影响实际运动。因此，不应认为远区一次反比律必然适用于从中心到外围的全部半径。

七、星系群：从圆运动走向三维随机运动

星系群通常由若干至数十个主要成员星系组成，具有复杂的三维空间结构。

其空间尺度通常达到数十万至数百万光年，质量介于单个大型星系与富星系团之间。

在本加公式下，一个星系群的整体动力学尺度为：

A_group = β√M_group

这里的 M_group 表示星系群的总重子质量。

成员星系可以沿不同方向、以不同偏心程度运动，而不必共同组成一个旋转盘。

因此，本加公式在星系群中的直接检验目标，不再只是平坦旋转速度，而是成员星系的速度弥散。

对于稳态、近似球对称的系统，若成员数密度满足：

ν(r) ∝ r⁻ᵞ

并且速度各向异性参数为 b，则在特定边界条件下可以得到：

σᵣ² = A/(γ−2b)

这里要求 γ−2b 为正。

代入本加公式：

σᵣ² = β√M/(γ−2b)

这表明，三维本加场能够在一定条件下产生径向近似恒定的速度弥散。

例如，当 γ = 3、b = 0 时：

σᵣ² = β√M/3

因此：

σᵣ⁴ = β²M/9

这一结果说明，本加场不仅具有平坦圆周速度解，还具有产生四次方质量—速度弥散关系的数学可能性。

但是，不同轨道各向异性、成员密度分布和非稳态结构，会改变实际速度弥散轮廓。

八、22座星系群的初步集体检验

此前我们利用 eROSITA–2MRS 星系群研究资料，探索了22座星系群的质量平方根关系。

在统一采用 R₂₀₀ 尺度，并暂时假设恒星质量占标准总质量1.5%的条件下，得到探索性结果：

平均 β_group ≈ 0.1444

样本标准差约为：

s ≈ 0.0290

与旋涡星系候选值：

β_galaxy ≈ 0.145

相比，两个均值在数值上十分接近。

但必须强调以下限制：

第一，22座星系群并没有全部获得独立测量的完整恒星质量。

第二，样本的个体离散度约为20%，不能忽略。

第三，先前 β 值使用了标准引力框架推断的总质量及特征半径，因此主要属于质量标度相容性检验，而不是完全独立的本征动力学验证。

第四，统一假设的恒星比例可能改变均值和离散度。

所以，这组结果可以作为进一步检验本加公式的动力，但尚不能证明本加常数在星系群中已经普适。

下一步应固定 β，根据观测重子质量直接预测各星系群的速度弥散，再与成员星系的实际速度观测逐项比较。

九、星系团：更大尺度的本征动力学

星系团通常拥有数百乃至数千个成员星系，其空间尺度可达数百万光年，甚至更大。

星系团与旋涡星系的最大区别，在于它们不是由一个共同的薄盘旋转运动主导。

星系团的大部分普通重子质量通常存在于弥散的高温等离子体中，成员星系则构成复杂的三维速度场。

如果本加公式同样适用于这些系统，那么：

A_cluster = β√M_cluster

并可研究其对应的候选三维中心场：

α(r) = −A_cluster/r

这一关系将星系团的整体重子质量与动力学加速度尺度直接联系起来。

此前我们对五座具有较完整重子资料的 X-COP 星系团进行探索性计算，得到：

该均值比候选值0.145高约4.3%。

这提供了值得继续研究的数值线索，但其中 β 是从标准总引力质量的等效速度尺度反算得到的，不能据此宣称星系团已经独立验证本加场。

特别是星系团内部的径向加速度关系、气体静水平衡、并合结构和引力透镜，仍可能对本加公式形成严格约束。

本加公式能否解释星系团，必须最终由这些观测共同决定。

十、从千光年到数百万光年的适用尺度

本文建议将约一千光年至数百万光年作为本加规律优先研究的空间尺度范围。

这不是根据数学形式人为设置的硬边界，而是根据当前研究对象及观测资料提出的主要检验区域。

对于这一巨大尺度范围，本文提出统一的候选本征加速度规律：

α(r) = −β√M/r

并强调在不同系统中，M 应具有一致且明确的总重子质量定义。

需要指出，尺度范围本身不能完全决定动力学规律是否适用。太阳系等高加速度环境已对牛顿引力和广义相对论提出很强的实验约束。因此，如果要将本加公式发展为更完整的引力理论，还必须确定其适用条件及与传统理论的过渡机制。

十一、与牛顿理论及 MOND 的关系

本加公式与牛顿万有引力定律在质量依赖和径向标度上明显不同。

但是，研究历史也必须准确交代。

Milgrom 于1983年提出的 MOND，在深低加速度极限下具有：

g = √(GMa₀)/r

其中 a₀ 为特征加速度常数。

由此可见，本加候选律：

α = −β√M/r

与 MOND 的深低加速度球对称极限具有相同的数学形式。

对应关系为：

β² = Ga₀

因此，不能将平方根质量律和一次反比加速度律本身称为此前从未出现的新数学关系。

本文所要探索的区别，是将本加系数 A = β√M 作为本征力学中的核心动力学尺度，并尝试通过 GRoDE 与三维本征运动统一研究星系、星系群和星系团。

这种理论解释是否具有独立的新内容，需要通过完整场方程、与已有理论不同的可检验预言以及实际观测比较来确立。

已有 MOND 星系团研究显示，单独采用深低加速度规律仍可能存在剩余质量缺口。因此，星系团不能被简单视为已经解决的问题。

十二、未来最重要的检验

本加公式能否发展为真正普适的宏观引力理论，取决于以下工作。

第一，旋涡星系旋转曲线的盲预测。

固定 β 和可观测重子质量，通过同一个动力学模型预测旋转曲线，避免逐个对象自由调整动力学尺度。

第二，星系群速度弥散的独立预测。

利用22座星系群的重子质量，预测其三维速度弥散，并与实测值逐群比较。

第三，星系团热气体动力学的检验。

从本加加速度场出发，预测温度、压力、密度以及速度弥散的径向结构。

第四，引力透镜检验。

需要明确本加场如何影响光的传播，建立可以计算透镜偏折和时延的理论，而不是直接沿用标准模型的透镜质量。

第五，确定适用范围及过渡规律。

必须回答为什么牛顿平方反比律能够准确描述太阳系，而本加一次反比律可能适用于星系及更大的系统。

以上检验均应保留偏离理论预言的对象，避免根据拟合效果选择样本。

十三、结论

本加公式提出了一种简洁的宏观动力学关系：

A = β√M

及其相应的候选三维本征加速度场：

α = −(A/r²)r

在中心场近似下，加速度大小为：

α = −β√M/r

该关系直接给出平坦圆周速度，并允许三维空间中不同方向、不同角动量和不同偏心程度的轨道运动。

本文认为，这一规律值得在约千光年至数百万光年的尺度上开展系统研究，主要对象包括旋涡星系、星系群和大型星系团。

目前的跨尺度质量统计已出现值得关注的数值相容性，但是完整的动力学普适性仍未得到证明。尤其是星系群和星系团的速度弥散、热气体运动及引力透镜，仍需接受独立检验。

本加公式所提出的核心问题是：

宇宙中的宏观引力动力学，能否由可观测重子质量的平方根及其相应的三维本征场统一描述？

如果这一命题最终获得充分的独立观测支持，它将为理解星系、星系群、星系团以及暗物质引力效应提供另一种理论途径。

这便是本文提出新的万有引力候选定律的主要意义。

参考文献

1. Milgrom, M. (1983). A modification of the Newtonian dynamics as a possible alternative to the hidden mass hypothesis. The Astrophysical Journal, 270, 365–370.

2. Milgrom, M. (1983). A modification of the Newtonian dynamics: Implications for galaxy systems. The Astrophysical Journal, 270, 384–389.

3. McGaugh, S. S. (2012). The Baryonic Tully–Fisher Relation of Gas-rich Galaxies as a Test of ΛCDM and MOND. The Astronomical Journal, 143, 40.

4. Sadhu, N., & Tian, Y. (2024). Examining baryonic Faber–Jackson relation in galaxy groups. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 528, 5612–5623.

5. Zhang, D., Hasani Zonoozi, A., & Kroupa, P. (2026). Revisiting the missing mass problem in MOND for nearby galaxy clusters. Physical Review D, 113, 043027.

研究说明：本文是候选理论及其初步观测检验的研究性论述。涉及跨尺度 β 统计的数值需要在正式发表前依据原始观测表、误差传播和统一的重子质量口径独立复算。

支持单位：