管克英

北京交通大学理学院，数学系

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摘要：物质相互作用中功率 P 与对应的力 F 之间的关系式

P = F ^.v      (*)   

是基础的物理公式。然而，一个多世纪以来，在利用该公式研究光线照射到反射性物体表面形成的辐射压时，主流的辐射压理论和爱因斯坦关于光对反射镜面的辐射压理论相互矛盾： 主流理论，违背了能量守恒率，认为被照射物体吸收的功率等于入射功率与反射功率之和；爱因斯坦则根据能量守恒，认为吸收功率等于入射功率与反射功率之差。除此基本矛盾外，在使用（*）式计算被照物体所受到的辐射压力 F 时，主流理论认为公式中的速度 v 是光速 c，爱因斯坦则认为它是被照物相对于观测者的运动速度。显然两者的理论绝不可能都是正确的，更令人诧异的是，在如此重要的基础物理问题上，自爱因斯坦的论文发表至今，物理学理论界竟没有对如此矛盾的理论进行过有意义的讨论，这说明至今物理学理论界对基础公式（*）的实际意义及存在的问题仍然没有清楚的共识。

一、主流的光压理论与爱因斯坦的相关理论相互矛盾

自2021年4月对光帆与克鲁克斯（Crookes）辐射计的讨论以来，带着问题,究竟反射性强的表面还是反射性弱的表面可以吸收更多的辐射能并产生更大光压，笔者在科学网对光压理论进行了一系列的探索与研究。特别，2022年笔者发现相关理论关系到物理学与力学中基础性公式（*）的重要性。有关资料可参考以下博文：

1).  没有不做功的力--马德堡半球实验、举重运动消耗的卡路里及辐射压公式 2022-07-01

2).  Force is equivalent to Power 2022-07-02

3).  Supplementary Explanation on “Force-Power Equivalence” 2022-07-04

4).  Rediscussing on the Force-Power equivalence 2022-07-18

探索中，笔者最先研究了主流物理学界普遍使用的Maxwell-Bartoli电磁辐射（或光）压公式，

   (1)

其中 p 是被照射物体表面所承受的辐射压， P_incident 是单位时间垂直入射光对bei照射物体表面单位面积的辐射能 （即射向单位面积的功率Power），c 是光速， R（0≦R≦1)是物体表面对光的反射系数。该公式的理论最早由英国物理学家麦克斯韦（J.C.Maxwell）在其巨著 《A Treatise on Electricity and Magnetism》^[2],卷 2，第792项的研究专题 <Energy and Stress of Radiation> 中提出，并指出： “Hence in a medium in which waves are propagated there is a pressure in the direction normal to the waves, and numerically equal to the energy in unit of volume.”, 即 “因此，在传播波的介质中，在垂直于波的方向上存在压力，其数值上等于单位体积的能量。”  用本文的记号，他的结论可用公式表示为（原著并没有用公式表示）

    (1^*)

(1^*)右方就是“单位体积的能量”。在第793项专题 <Sunlight>, 麦克斯韦进一步根据当时测得的太阳常数，估计出太阳直射到地面会造成每平方米0.4毫克重的压强。

独立于麦克斯韦，1876年，意大利物理学家巴托利（Adolfo Bartoli）根据他对热力学第二定律的思考，提出辐射压对反射镜面的压强是（1^*）式的二倍（参考[2]），即

  (1^**)

并且同样根据当时的太阳常数，他估计出太阳直射到地面会造成每平方米0.8毫克重的压强。

综合了麦克斯韦与巴托利的思想，1901年，俄罗斯实验物理学家列别捷夫（P Lebedew）在其著名的光压实验论文 <Untersuchen uber die druckkrafte des Lichtes>^[3] 中首次给出了含有反射系数的 Maxwell-Bartoli 公式的具体形式 （1）。

其实，奥地利物理学家玻尔兹曼（Ludwig Eduard Boltzmann）1884 年在其著作 <Ableitung des Stefan schen Gesetzes betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie>^[4] 中指出：麦克斯韦使用的概念，“单位体积中的能量”，更早（1856年）由德国化学与物理学家 A.Krönig 用于热力学和统计力学方法研究气体压强的描述（参考文献[5] 或英文 Wikipedia：https://en.wikipedia.org/wiki/Kinetic_theory_of_gases ）。

事实上 Krönig所推导出的理想气体的气压公式完全类似于（1^**），该气压中的 P_incident 是指垂直于受压面的气流单位时间向受压面单位面积的动能，即气流输向单位面积的功率，公式中的光速则改为气流的速度。

当今对麦克斯韦-巴托利公式更清楚的理论解释体现在英文 Wikipedia：https://en.wikipedia.org/wiki/Radiation_pressure

在介绍公式（1）时，Wikipedia 使用了Poynting 矢量 <S>代替公式（1^*）中的入射功率 P_incident, 转而用 P_incident 表示压强 p，并从理论上明确指出压强公式的导出原理是根据功率与力的关系式 （*），将关系式中的速度 v 解释为光速 c，并在全反射的情况下认可了公式 （1^**），因此在部分反射的情况下，主流理论实际认可了关系式（*）中的功率 P 为

    (2)

本文令

  (3)

根据量纲判断，P_reflection 也应该是一种功率密度，本文将其解释为反射面单位面积的反射功率。显然

同一词条中，Wikipedia 在对反射面的辐射压 （1^**）或（1）解释时，用下图更清楚地描述了主流理论在公式（1）使用加号（或（1^**）式中使用倍数 2）的原因，

图 1

此图表明，主流理论将弹性碰撞中的动量（momentum）守恒用于描述电磁辐射或气流束对反射面形成的压强，在具体计算时则使用功率与力的关系式（*）。值得关注的是，（*）式与（2）式的结合恰好暴露了主流理论违背了能量守恒定律。

根据以上事实，笔者已在近两年发布的多篇论文中指出，Maxwell-Bartoli公式 （1）或 （1^**）既违背了能量守恒定律，造成了无法正确解释克鲁克斯辐射计叶片在光照时的实际转向，也错误地将公式 （*）中的速度 v 当作光速 c，使得根据（1）式计算出的光压过分微小。

注：正是为了证明光压像麦克斯韦、巴托利计算的那样极其微小，才有了先入为主，可疑的列别捷夫实验。因为列别捷夫在论文[3]开始介绍其实验时，先明确地阐述了他的实验动机：

In seinem Lehrbuch 793 sagt Maxwell:

„Concentrirtes elektrisches Licht wird wahrscheinlich einen noch grösseren Druck ausüben (als die Sonnenstrahlung) und es ist nicht unmöglich, dass die Strahlen eines solchen Lichtes, wenn sie auf ein dünnes metallisches Blättchen, das in einem Vacuum fein aufgehängt ist, fallen, an diesem einen beobachtbaren mechanischen Effect ausüben.”

Als ich meine Versuche beginnen wollte, schien mir die von Maxwell vorgeschlagene Versuchsanordnung aussichtslos, weil bereits Zöllner  ) diesen Weg ohne Erfolg eingeschlagen und auch „darauf aufmerksam gemacht hat, dass der von Maxwell theoretisch erlangte Wert (des Lichtdruckes) ungefåhr 100000 mal kleiner sei als der von Crookes in einem speciellen Falle beobachtete Wert der Resultate",  ) Wenn man auch darauf rechnen konnte, diese störenden radiometrischen Wirkungen ganz erheblich zu verkleinern, so glaubte ich denr.och, dass nur eine solche Einrichtung zum Ziele führen könnte, in welcher diese radiometrischen Kräfte compensirt sind.

中文译文为：

在他的教科书第 793 节中，麦克斯韦说：“电光的聚光灯可能会施加更大的压力（比太阳辐射），而且这种光线在应用于薄金属片时并非不可能放置在真空中，精细地悬浮、下落，对其施加可观察到的机械效应。”

当我想开始我的实验时，麦克斯韦提出的实验安排对我来说似乎是无望的，因为Zöllner已经走了这条路但没有成功，并且“指出麦克斯韦理论上获得的（光压力的）值大约是100,000倍小于 Crookes 在特殊情况下观察到的结果 e 的值”。即使可以指望大大减少这些令人不安的辐射效应，我仍然相信只有这样的设备才能实现可能导致这些辐射力的目标得到补偿。

笔者注：为了达到预想的实验值，实验中列别捷夫滤掉了红外光、紫外光等，却仅用热功率的测量代表入射光功率的测量，特别不测量反射光的功率，每次测量只测一片被压面，而不像使用克鲁克斯辐射计那样同时检验反射面与非反射面对同一辐射的反应，等等。其实这些都无助于对实际光压的准确侧量。为节省篇幅，笔者将另文详细介绍该实验涉及的问题。

2022年，笔者进一步注意到，其实早在1905年德国出生的物理学家爱因斯坦（A. Einstein）在其著名的关于狭义相对论的第一篇著作 "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" ^[6]（“论动体的电动力学”) 中，在讨论到光线能量作用到反射镜形成的辐射压力时，他明确地使用了能量守恒定律解释辐射压形成的原因：

注：以上摘自范岱年 赵中立 许良英编译的 <爱因斯坦文集> 第二卷^[7] 108页，引文中的符号严格使用了爱因斯坦的原文, 当时物理学界经常用 P (Pressure) 表示压力（而不表示功率），还用大写的字母 V 表示光速。

为便于叙述，本文将引文中的两个压强公式进行如下的编号：

  （4）

和

    (5)

在上述爱因斯坦的光压理论模型中，v 是反射镜相对于静（止）系统的运动速度。

显然，爱因斯坦所称的“别的理论”是指主流理论的光压公式 (1)。可以看出，爱因斯坦的理论与“别的理论”的根本不同之处有以下三点：

i)       爱因斯坦的光压理论基础是基于能量守恒原理，认为电磁辐射单位时间内对单位面积镜面所做的功(单位面积镜面吸收的功律，记作 P_absorbed）等于单位时间内射到反射镜上单位面积的（在静系中量得的）能量（即入射功率 P_incident)与单位时间内离开反射镜的单位面积的能量（即反射的功率 P_inflection）之差,

   (6)

        这无疑是笔者赞赞成的。而根据（2）和（3）式，可以看到主流理论则认为

  （7）

ii)       爱因斯坦的光压理论恰好建立在他创建的侠义相对论的基础或框架上，充分使用了他给出的洛伦兹（Lorentz）变换，为此他的模型假设了静系 K 和与镜面一起运动的动系 k，动系对静系，以定速 v 做相对运动。而公式（1）提出的时代还没有建立相对论，不存在这个速度。

iii)      爱因斯坦还根据力学公式 (*) 指出，

     (8)

                       而主流理论则认为，

     (9)

令人诧异的是：按照 Einstein 的上述理论，他本应推导出与 Maxwell-Bartoli 完全不同的辐射压公式，即

            (10)

但是爱因斯坦明知他的理论与别的理论不同，按照他给出的公式推导结果却是 （4）与（5）式。而且正如他的判断，他得到的竟然是“就第一级近似而论，我们得到一个同实验一致（显然指 Lebedew 的光压实验^[3]或同期由美国物理学家 Nichols, E. F 和 Hull, GF 做的类似光压实验^[6]），也同别的理论一致的结果”！

笔者做了检验：由于爱因斯坦的论文，公式中的因子 A²/(8π) 和 A'''²/(8π) 分别表示入射与被反射的电磁场单位体积中的能量，因此公式（5）与公式（1^**）的确一致！

这个矛盾结果到底反映了什么？面对这个严肃而有趣的问题，经研究笔者发现爱因斯坦的论证存在以下错误判断：

其一表现为，在没有任何推导的情况下，他直接给出判断：

每单位时间内射到反射镜上单位面积的（在静系中量得的）能量显然是

  (11)

单位时间内离开反射镜的单位面积的能量是

  (12)

虽然他的论文已详细论证了以上两式中的因子 A²/(8π) 或 A'''²/(8π) 符合狭义相对论中洛伦兹变换的要求，但对速度因子 (V cosφ -v) 或 (V cosφ’’’ + v) 则没有论证是否符合洛伦兹变换的要求。实际上这两个因子仅在牛顿力学的伽利略变换下是不变量。 当速度 v 与 光速 V 方向相同或相反时，按照该论文的推导，可发现

或

此时上述两个速度因子中必然有一个成为超光速，而超光速在狭义相对论框架中是不能存在，不能被容许的。无疑这两个表达式是爱因斯坦判断中的疏忽。

其实，爱因斯坦推导出的公式（5）也明显地与他对光压产生的理念发生了矛盾：

当根据他给的经过推敲的公式精确计算时，若令相对速度 v 等于零时，必然有 φ = 0,  φ’‘’=0 , 此时 P_absorbed  必然等于零。按照爱因斯坦 的思想即可直接判断镜面吸收的功率一定是零，这意味着镜面不会受到任何压强。

当使用没有经过严格推敲的公式 （11）和 （12）时，在速度 v 不等于零的情况下，的确可以首先精确地推导出（4）式，然后再令 v = 0 , 即得到（5）式。（5）式则意味着镜面仍然会受到（非零的）光压。

这个矛盾进一步表明爱因斯坦未加证明直接给出的公式（11）与 （12）必定存在错误。

爱因斯坦论文中的另一判断错误表现在对公式 （*）或 （8）式中的速度 v 的理解上。他在论文中事先定义的速度 v 是动系对静系的相对速度，与光辐射压是否存在完全无关。但这绝不是公式 （*）所指的速度。

二、功率与力等价关系式中的速度

上一节的论述充分显示了爱因斯坦的光压理论与主流理论之间的矛盾，还显示了在使用公式 （*）计算光压时，两种理论对公式中的速度 v 的不同理解。

笔者在已发布的几篇博文中均（特别是本文开始提到的第三篇， Supplementary Explanation on “Force-Power Equivalence” ）论证了公式 （*）中的速度，在国际单位制（SI）的表示下，必然是单位速度，即每秒  1 米，本文将这个单位速度记作

    (13)

注，这里 m 表示长度单位米，s 表示时间单位秒。

其实其中的道理很简单：

根据功率 P 的定义，它是物质相互作用中能量 E(t) 对时间的变化率，即

   (14)

如果使用国际单位制，功率的单位是瓦特 (Watt,简记为 W），其值等于每秒一个单位能量，即焦尔（Jor 简记为 J），于是

  (15)

由于一个单位能量 J 等于1个牛顿-米 (Newton-Meter), N (牛顿)是力的标准单位, 则有

  (16)

因此

 (17)

因为 W 是功率单位，N 是力的单位，所以按照国际单位制，关系式 （*）应该精确地表示为

    (18)

主流理论与爱因斯坦理论对公式（*）中速度 v 的不同解释进一步说明了将（*）式精确化为（18）式的必要性，也说明爱因斯坦和主流理论的解释都错了。

三、功率与力的关系是重要的等价关系

从（18）式导出的过程可以看出，物质相互作用瞬时出现的功率与力和当时表现出的瞬时速度并不相关。研究下面的具体例子：

假设一架已在空中悬停的直升机，根据工程需要，用钢丝绳将100公斤重的物体提升并保持到一定高度。除了不挂重物时维持悬空的功率外，直升机还需要多提供足够的功率使重物提升，提升力必须稍大于100公斤重（或 980 牛顿），根据（18）式可知多提供的功率需稍大于980瓦特。虽然重物在提升过程中的实际运动会很复杂，但可以肯定的是，为安全，驾驶员应该尽量保持一个稳定的合理提升速度，使大于980瓦特的功率稳定在恰好克服出现的多种阻力的水平。当重物停留在所需高度的一段时间内，驾驶员仍需使直升机（比不挂重物时）多提供 980 瓦特的功率以支持100公斤的重量（此时为静力），否则重物就不可能维持在那个高度。

此例充分说明，功率与力都是瞬时的物理量，当出现物质相互作用时，每个瞬间有多少瓦特功率在传输，就对应有多少牛顿的力在发挥作用。此例还说明静力也有对应的功率在发挥作用！

爱因斯坦的侠义相对论揭示了物质的能量 E 与质量 m 的等价关系,

   (19)

对等价关系（19）意义与重要性已无需在此赘述。由于精确化了的功率与力的关系式 （18）和（19）式完全相似，而且公式中的因子 c² 和 v_unit 均是平衡量纲需要的普适常数，所以笔者将 （18）式称为功率与力的等价关系式。

显然，至今物理学界忽视了本文所解释的爱因斯坦与主流在光压理论上的矛盾，更没有注意到这个等价关系。

正视这个等价关系，不仅对正确认识光压有意义，而且可以纠正经典力学认为静力不做功的错误认识，由此可发现、解释更多的自然现象，使物理学的研究领域更加广泛。笔者将另文探索相关的一些问题。

参考文献

[1] J. C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism (1St ed.), Vol. 2, Oxford, 1873. 

[2] A. Bartoli, Ezner's Bep. d. Phys. 21. p. 198. 1884, übersetzt aus Nuovo Cimento 16. p. 195. 1883. 

[3] P. Lebedew,  Untersuchen uber die druckkrafte des Lichtes, Annalen der Physik 46, 432 (1901). 

[4] Ludwig Eduard Boltzmann ,  Ableitung des Stefan schen Gesetzes betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie, pp. 291-294 in: Annalen der Physik und Chemie, Band 22, Heft 2, No. 6, 1884

[5] Krönig, A. (1856), Grundzüge einer Theorie der Gas, Annalen der Physik 99 (10): 315–322

[6] Einstein, Albert (1905d) [Manuscript received: 30 June 1905]. Written at Berne, Switzerland. "Zur Elektrodynamik bewegter Körper". Annalen der Physik (Submitted manuscript) (in German). Hoboken, New Jersey (published 10 March 2006). 322 (10): 891–921.

[7] 范岱年 赵中立 许良英编译，爱因斯坦文集，第二卷，商务印数馆出版，1977年第一版，统一书号：2017●184