管克英

北京交通大学理学院，数学系

Email：keying.guan@gmail.com

摘要：解释为何辐射压的研究导致了功率与力的等价性原理的发现，研究辐射压公式与静力做功的实验并讨论实验涉及的问题。

一.  问题的背景

笔者在研究关于太阳光帆和 Crookes 辐射计时，注意到流行的正统理论使用的是 Maxwell-Bartoli 辐射压公式

        (1)

该式描述了一束平行光或电磁辐射，垂直地射向反射系数为 R 的反光面时，反射面承受的光压或辐射压强 p。

公式中的 S 是 Pointing 矢量

  （2）

<S> 是 S 关于时间的平均值。笔者很早已在博文中指出：

1).  公式（1）的压强推导过程没有对能量守恒率的考量。与 （1）相悖的事实是，如果考虑了能量守恒，在全反射的情况下，被照射物体收到的能量必定是零，被照物体既感受不到光压，更不可能被推动。

2).  公式（1）中分母是光速 c, 对于由静止质量不等于零的普通物质而言，这个分母太大。这是因为，根据经典力学，相应的功率 P 与作用力 F 有如下的关系

     （3）

其中的速度 v 是受压物体在受力作用时的速度，因此 （1）式的分母应该是 v 而不是光速 c。如果这个分母是光速，该公式只适用于光束自身，不适用描述辐射对普通物质的压强。

3).  为了迎合当时学术界对 Crookes 辐射计叶片在光照下的转动不是由于光压，而是热效应的解释，一百多年前，Lebedew 的光压实验装置^[1]尽量排除了辐射的热效应，但为了测量入射的辐射强度却又使用热测量代替直接测量辐射强度，至今主流光压理论仍认为辐射造成热效应产生的压力不属于真正的光压，这是自相矛盾的做法。除此，该实验没有测量辐射反射部分的能量强度，实验存在严重漏洞。光压实验应该利用现代激光技术与现代的精密测量仪器重做。

辐射压应该如何计算与测量呢？

二.  辐射压的测量与静力测量的关系

从古至今，人们测量作用力大小的方法是将受力作用的物体连接到有弹性的”称“的表面，当作用力与称的弹性反作用力达到平衡时，称提供的弹性力的标度即可得知作用力的大小。此时，作用力表现为静力。

Lebedev 辐射压测量使用的“称”就是石英纽称，测量的是“静压强”。

据笔者所知，除了微观粒子的强、弱相互作用力，其它的基本相互作用力的测量，如万有引力、库仑力、静磁力的基础精密测量都是使用了石英纽称，所测得的力均属于“静力”。

三. 为何静力也做功

正是对 Lebedev 辐射压实验的思考，笔者开始意识到，静力也必须做功。

这是因为，Lebedev 的辐射压实验是用一束光照射到一个被照射物体表面并使与该物体连接的石英纽称扭转到某平衡角度，而为了维持这个扭转角度，必须使这束光维持原有的强度，也就意味着光束必须向被照射物持续提供固定的照射强度（功率）用于维持物体与石英称的静平衡。由此，联想到举重运动员举起重物保持重物不动的时间段仍然大量消耗体能；拔河运动中在双方的拉力平衡的时间段双方运动员也必须持续花费大量体能。根据大量的这类实际现象，笔者得出结论：静力也做功。

四.  功率与力的等价性原理

经典力学公式 (3) 给出了功率与作用力之间的一个重要关系，但是这个关系对于给定功率 P，公式中的速度 v 和对应的力 F 可以存在无穷多可取的值及相应的特殊解释，特别当 v = 0 时公式失效，所以该式没有反应出功率与力之间的直接、本质的联系。

笔者在研究光压理论时发现：根据国际单位制（SI)，如果推动力输出的功率 P 为 x 瓦特 (W)，则有等式 

     （4）

其中 x 为纯数量，N 为力的单位（牛顿），m/s 表示每秒 1 米 的单位速度，笔者记作 v_unit。如果再将公式 （4）中的标量  x N 称为 “功率 P 的内蕴力”，记作 F_intrinsic ，即

     （5）

于是公式（4）可写成

   (6)

其中单位速度 v_unit 是标量， F_intrinsic  与 v_unit 之间是普通标量的乘积关系。在略去公式 (6) 的量纲后，功率 P 与其内蕴力 F_intrinsic 的数值相同。

由于公式（6）中的单位速度只是起了量纲的作用，与受力物体的实际速度无关。在受力物体保持不动的静力下，按照公式 (6) 仍然可计算出功率与其内蕴力的确定关系。而传统的公式 (3) 只适合力 F 作用的物体瞬间速度 v 不是零的情况。其实除了当物体受到静力作用的情况外，还存在对非静力也不能使用公式 (3) 的情况。例如牛顿力学中，一个静质量等于 m (> 0) 的静止粒子，在刚接受非零推力 F 的瞬间，按牛顿第二定律，该力立即使粒子产生非零的加速度 a，

    (7)

显然，为使粒子产生这个加速度，发力者必须向粒子提供非零的瞬间功率 P，但是由于此时粒子的瞬时速度还只是零，按公式（3）计算出的功率则只能为零，公式显然失效。如果令 F_intrinsic 等于推力 F 的强度，公式 (6) 则恰如其分地给出了功率与推力的关系。

因此，公式 （6）比公式（3）更有一般性，是普适的。

笔者注意到，英文 Wikipedia 的词条“Horsepower” 解释中使用了詹姆斯·瓦特在 18 世纪末创造的“马力”的原始定义的图示 （图 1.）

图 1. 詹姆斯·瓦特在 18 世纪末创造的“马力”的原始定义的图示

不难看出，功率 1 “马力” 的内蕴力相当于 745.7 牛顿，也相当于当时认可的马匹平均拖曳力。除此，还联想到马德堡的半球实验恰恰利用马的力量瞬时拉开被大气压（静力）扣得很紧的两个半球，并依此显示大气的压力。

由于公式（6）意味着功率与其内蕴力同时出现或同时消失的实际现象，笔者深深地感觉到它们本质上描述的是同一个物理对象。

一个有趣的相关事实是， 如果排除物理学或力学文献的专业术语解释（或定义)，世界上主要的文字词典在介绍 “power" 一词时，都将该词赋予了 “力” 或 “力量” 的含义。

A. Einstein 在相对论得到著名的 “质量与能量等价性原理”，该原理在国际单位制（SI）下的表达式为

 (8)

其中 c 为真空中的光速，是个普适常数。

根据上述事实与思考，笔者有充分理由相信：公式（6）描述的也是物理学的一个新的普适原理，即 “功率与力的等价性原理”。

五.   辐射压实验验证问题

笔者在早期的博文，

辐射理论上的“光压”不是牛顿力学中的“压强”

根据公式 (3) 给出功率密度为 S 的辐射束垂直地射入反射系数为零的黑体表面时，黑体表面所受到的辐射压为

    (9)

其中 v 是黑体的非零瞬时速度（与 S 平行）。 后来根据 （6），笔者又在博文

地面上标准太阳光压是1310帕--再论”光压“

将 (9) 式改进为更一般的，可适用于 v = 0 的形式

  （10）

注：笔者多次指出，对于实际物体，实测的辐射压要小于按 （10）式计算出的值。

在博文，爱因斯坦与主流理论对功率与力关系式的不同解释 ， 笔者曾指出，早在1905年 Einstein 在其著名的关于狭义相对论的第一篇著作 "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" ^[2]（“论动体的电动力学”) 中，在讨论到光线能量作用到反射镜形成的辐射压力时，他明确地使用了能量守恒定律解释辐射压形成的原因：

笔者发现该文中虽然表达式是错误的，但其计算光压的基本原则是正确的。他的基本原则是：由能量原理，每单位时间内射到反射镜上单位面积的能量（即射入的功率密度，或坡印廷矢量 <S_in>) 减去单位时间内离开反射镜的单位面积的能量（即射出的功率密度，<S_out>）就是单位时间内光压所做的功。如果置这功等于乘积 p●v, 那么应该得到：

  (11)

其中 v 是反射镜相对于观测者的速度。 不幸的是由于原著给出的 <S_in> 与 <S_out> 具体表达式都是错误的，所以 Einstein 给出的结果也是错误的。

如果略去反射镜相对于观测者的具体速度 v, 根据功率与力的等价性公式 (6), 笔者认为光压公式的一般形式应该是

  (12)

或者

  (13)

其中纯数字 R (= ||<S_out>|| / ||<S_in>||) 称为反射系数。一般情况下应该有，0 ≦ R ≦ 1。

显然，除理论推导外，公式 （12）或 （13) 还必须经实验验证。

由于坡印廷矢量的定义较复杂，对 <S_in> 的准确测量本身就是个复杂的实际问题，一般不能简单地直接测量（参考：杨正瓴的论文

https://osf.io/eh3k4/download ）。

据笔者所知，根据 Maxwell-Bartoli 公式测量地表太阳光压时，Maxwell 和 Bartoli 对阳光辐射的强度（即坡印廷矢量）测量数据都是通过对太阳对地球表面辐射的热效应的测量值并利用热的功当量计算出的。而著名的 Lebedew 光压实验也是通过对入射光束的热测量计算光束强度的。

笔者认为利用辐射的热效应代替坡印廷矢量的计算存在很大的争议性 (或不准确性)，而且辐射压的正统理论认为计量辐射压应该排除辐射的热效应，但又要用辐射的热效应测量坡印廷矢量，这个想法与做法是相互矛盾的。

更重要的是，无论 Maxwell-Bartoli 辐射压公式 （1）还是笔者提出的公式（13）都存在反射系数 R 的实际测量与计算问题。实际物体的表面既不可能是纯镜面 （R = 0)，也不可能是纯黑体 (R = 1)，即使入射的辐射是三维空间的纯平面波，而且是严格垂直地入射到较平整的物体表面，其被反射的部分必然包含可观的漫反射、表层原子或分子的受激辐射，附着在表面的电子的康普顿散射或其它形式的散射，以及物体受入射光子冲撞导致升温形成的热辐射等，它们的方向一般是随机的，而且不会与入射的频谱一致。除此，很可能存在目前尚未被认识到的电磁辐射与普通物体间的其它相互作用。这些因素，使得 <S_out> 或 R 的精确测量或计算变得很困难。

尽管有上述困难，在物体表面接近镜面或接近黑体的两种情况下，使用强光束或强窄激光束分别照射 Crookes 辐射计叶片的反光面与黑色面，人们（至少笔者）已定性地证实公式 （13）是正确的。随着实际问题的需求与科技的进步，电磁场强度的测量方法与精度都在快速地发展，笔者相信，<S_out> 或 R 的测量或计算会越来越精确、简便。

笔者在力所能及的实验中，还发现电磁辐射与普通物体相互作用中的新现象（将另文介绍)。

六.   静力做功的测量

1972年诺贝尔物理学奖者，美国物理学家列昂·库珀 (Leon N. Cooper), 在其名著《物理世界》^[3]（原著英文名<AN INTRODUCTION TO THE MEANING AND STRUCTURE OF PHYSICS>^[4]) 中指出：

静力学是一门古老的学科。静力学描述的是运动状态不变的刚体的行为, 至少从阿基米德时代开始,人们在设计桥梁、楼房以及战车时就开始用它了,  静力学研究的是静止刚体。刚体被看作是质点系统，而且假设将这些质点维系在一起的牛顿力使任何两质点间的距离保持不变。

其实刚体只是对实际固态物体物质的一种近似描述。刚体概念忽略了实际固体物质系统内的 “相对位置、成分、结构” 的微小变化。实际的物质世界不存在纯粹的“刚体”。

真实的 "静力" 并不真正的 “静”，实际的受力物体必然存在不明显的 “微动” 或 “微变”。受力物体的 “微动” 或 “微变” 实质上是物性的变化，对应着能量的传播与转化。

其实人类早已将受力物体的 “微动” 或 “微变” 用于改变受力物体的物性，解决实际需要，例如利用水压机缓慢地使某些具有一定塑性物体更坚固并成型（水压成型技术)，利用压力机或拉力机检测某些物理的抗压性或抗拉性的实验等。遗憾的是，在做这些应用或实验时，研究人员只测量压力与变形，一般都忽略了对应消耗的功率与功率变化的测量。笔者强烈建议，有条件的实验室，为了基础科学的需要，在上述应用研究的同时，测量相应的功率与功率的变化，这样即可测量相应 “静力” 所做的功。

人们普遍承认，人或动物承重并在一段时间内保持站立不动肯定要消耗能量，但物理学与力学的经典理论却认为此时人或动物提供的力是 “静力”，不做功。所以这种物理学或力学提不出计算耗能的算法与依据。

笔者在提出静力也做功的理论时，曾根据公式 (6) 的思想，具体计算了问题：

如果将100公斤重的杠铃，用力使杠铃 在 3 秒时间内离开地面并举到2米高的位置（这里不考虑使用抓举、挺举或其它动作方式)，之后再使其稳定在2米高的位置达到 3 秒钟,  运动员至少要消耗多少卡路里的能量？

计算的结果为：运动员在这 6 秒钟的动作中消耗的能量为 1874.4 (= 6 x 234.3 + 468.6) 卡路里 ，

具体的计算见博文

没有不做功的力--马德堡半球实验、举重运动消耗的卡路里及辐射压公式

这里需指出，这个计算结果没有错，但在该文笔者进一步提出判断：“这个卡路里数稍大于普通人维持基本生活一天应消耗的卡路里数” ，却是个重大失误。失误的原因是，当时笔者误将普通热力学的“卡路里（carorie)” 混同于食品包装中经常使用的 “Carorie（大卡)”,  这个判断出现了1000倍的误差 （注：在原文的评议中笔者已给出了修正）。

因此上述问题中，举重运动员消耗的卡路里应该相当于普通人维持基本生活一天应消耗热能的千分之一，大约是半克淀粉的热量 2 大卡。

为了检验公式 （6）在人力负重问题的计算结果合理性，进一步研究一个体重 75 公斤的壮年男子，负重 100  公斤步行1000米所消耗的热量。笔者按以下方法进行估算：

假设，该男子步长 0.8米，平均每秒1.5 步，负重行走时每步（人与重物的）重心上下摆动一次摆幅不超过 0.1 米。

再假设每迈出一步，该男子为支持重心上升0.1米消耗的能量为

100 kg x 9.8 m/s² x 0.1m = 1715 焦耳

而且假设在重心回落时这部分耗能不能回收。 显然，要走1000米，男子要迈1250步。为支持重心的上下摆动，他必须消耗能量大约 2134750 （=11715 x 1250） 焦耳。

为了不间断地走这1000米， 男子花费的时间大约为 833 （= 1000/(1.5 x 0.8) ) 秒 , 此期间男子还要负重 100 公斤，按公式 （6）计算， 他还需耗能 816340 （= 100 x 9.8 x 833) 焦耳。

因此，该男子负重100公斤走1000米消耗的能量为 2960090（=  2134750 + 816340）焦耳, 大约 708 大卡。

如果假设该路段，路面还单调上升了 200 米，该男子还需为提升他和重物的重心多消耗能量 343000 (175 x 9.8 x 200) 焦耳，大约 71 大卡。

按照 《百度知道》提供的信息（参考 https://zhidao.baidu.com/question/1830302986644674820.html)，一个 100 克 的全麦面包的热量是 305 大卡（注：原文写是 305 卡路里，这种写法很容易使读者将大卡与小卡概念的混肴)，该男子负重100公斤在坡度为 1/5 的路上走1000米所消耗的能量相当于大约 250 克的全麦面包的热量。

笔者相信，从能量角度看，以上估计是合理的，是健康的人可承受的。

必须指出，在上述人或动物负重的耗能的估计中，仅用淀粉、脂肪与蛋白质构成的食物热量衡量是有严重缺欠的。这是因为人或动物负重时，除了肌肉做功外，骨骼系统起着重大作用，为此骨骼系统也必然存在不可忽视的能耗。特别，有些动物还是通过外骨骼负重的，而且现代人类也在使用外骨骼减轻人自身的负重与运动负担。相信，这个问题涉及到承重时肌肉、肌腱、骨骼的关系，相应的组织成分，如不同的蛋白质（包括胶原蛋白），钙、磷、钾、镁等诸多元素, 维生素以及相关的新陈代谢过程（包括日光浴的需求）等。这些相关的能耗补充已不仅是淀粉、脂肪与蛋白质食物的简单热量补充，而是更深入的重大生理、生化等研究课题。

同样，植物的负重能耗补充也面临类似的重大问题。

参考文献

[1]  P. Lebedew: Untersuchen uber die druckkrafte des Lichtes, Annalen der Physik 46, 432 (1901). 

[2]  Einstein, Albert (1905d) [Manuscript received: 30 June 1905]. Written at Berne, Switzerland. "Zur Elektrodynamik bewegter Körper". Annalen der Physik (Submitted manuscript) (in German). Hoboken, New Jersey (published 10 March 2006). 322 (10): 891–921.

[3] 列昂. 库伯 著，杨基芳 汲长松 译：《物理世界》，高等教育出版社，2023. 1， ISBN 987-7-04-058456-1.

[4] Leon N. Cooper: An introduction to the meaning and structure of physics, 1968, New York : Harper & Row,      ark:/13960/t9579561w