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matlab稳健回归函数文档
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2018-06-14 20:39:44
regress函数和regstats函数利用普通最小二乘法估计模型中的参数, 参数的估计值受异常值的影响比较大. robustfit函数采用加权最小二乘法估计模型中的参数, 受异常值的影响就比较小. robustfit函数可用来作稳健的多重线性或广义线性回归分析, 下面介绍robustfit函数的用法.
调用方法
b = robustfit(X,y) b = robustfit(X,y,wfun,tune) b = robustfit(X,y,wfun,tune,const) [b,stats] = robustfit(...)
使用说明
1. b = robustfit(X, y)
通过执行稳健回归来分析多元线性回归模型 y=Xβ, 并返回系数向量 β 的估计值 b.
输入参数 X 为 n×p 的自变量矩阵(或称预测变量矩阵, 设计矩阵), 对应 p 个预测因子对 n 个观测值中每个的贡献. y 是 n×1 观测值向量(或称响应向量), 输出的 b 为 (p+1)×1 向量.
缺省情况下, 算法使用基于bisquare加权函数的迭代重加权最小二乘法.
注意 与regress函数不同的是, 默认情况下, robustfit函数会自动在 X 第1列元素的左边加入一列1, 而不需要用户自己添加. 此列向量对应于模型中的常量项. 不要直接为 X 添加一个全1的列向量, 你可以通过更改变量const的值来改变robustfit的默认行为.
robustfit会把 X 或 y 中的不确定数据NaN作为缺失数据, 并将其移除.
2. b = robustfit(X, y, wfun, tune)
指定加权方法wfun和调节常数tune. 在计算权重之前tune会被划分到残差向量. 如果指定了wfun, 那么tune必不可少.
加权方法wfun为字符串, 可以取下表中的任何一个.
| 加权方法 | 权重函数 | 默认调节常数 |
|---|---|---|
| 'andrews' | w=sin(r)/rif|r|<π | 1.339 |
| 'bisquare'(默认) | $w = (1-r2)2 \;\;\text{if} \abs r<1$ | 4.685 |
| 'cauchy' | $w = 1/(1 + r2)$ | 2.385 |
| 'fair' | w=1/(1+|r|) | 1.400 |
| 'huber' | w=1/max(1,|r|) | 1.345 |
| 'logistic' | w=tanh(r)/r | 1.205 |
| 'ols' | 普通最小二乘法(无加权) | 无 |
| 'talwar' | w=1if|r|<1 | 2.795 |
| 'welsch' | $w = \exp(-r2)$ | 2.985 |
若调用时没有指定调节常数tune, 则使用表中的默认值. 默认调节常数给出的系数估计值约为普通最小二乘估计的95%, 前提是响应服从正态分布且无异常值. 减小调节常数会增加分配给大残差的downweight; 增加调节常数会减少分配给大残差的downweight.
权重函数中的 r 值通过下式计算
$r = {\text{resid} \over \text{tune}s\sqrt{1-h}}$
其中 resid 是上一次迭代中残差的向量, h 是由最小二乘拟合得到的中心化杠杆值向量, s 是误差项标准偏差的估计值, 计算公式为
s=MAD/0.6745
其中 MAD 为残差绝对值的中位数. 常数0.6745保证了在正态分布下估计是无偏的. 如果 X 中有 p 列, 则在计算 MAD 时会将残差绝对值向量的前 p 个最小值舍去.
用户可以自己定义权重函数. 该函数的输入必须是残差向量, 并输出权重向量. 在这种情况下, 调用robustfit函数时把自定义权重函数的句柄(形如@myfun)作为wfun参数传递给robustfit函数, 此时必须指定tune参数
3. b = robustfit(X, y, wfun, tune, const)
用参数const来控制模型中是否包含常数项. 若const取值为'on'(默认值), 则模型中包含常数项, 此时会自动在 X 第1列的左边加入一列1, b 变为 (p+1)×1 向量. 若const取值为'off', 模型中不包含常数项, 此时不改变X的值. 则 b 为 p×1 向量.
4. [b, stats] = robustfit(...)
返回一个结构体变量stats, 其字段包含了用于模型诊断的统计量. stats的字段为:
ols_s: 普通最小二乘法得出的σ的估计(RMSE)robust_s: σ的稳健估计mad_s: 用残差绝对值的中位数计算σ的估计; 用于在迭代拟合过程中缩放残差s: σ的最终估计, 是ols_s和robust_s加权平均值与robust_s值中的较大者resid: 残差rstud: 残差的t检验值(详细信息参见regress)se: 系数估计的标准误差covb: 系数向量协方差矩阵的估计coeffcorr: 系数向量相关系数矩阵的估计t:b与se的比值pt检验的p值w: 稳健拟合的权重向量R: 矩阵X的QR分解中的R因子dfe: 误差的自由度h: 最小二乘拟合的中心化杠杆值向量
robustfit函数使用 inv(X'*X)*stats.s^2来计算系数估计值的方差协方差矩阵. 标准误差和相关性由此得出.
参考译文
https://blog.sciencenet.cn/blog-548663-1119079.html
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