铺砌的艺术，或称镶嵌的艺术，在文明史中可以说是源远流长。远古时代当人们开始建造房屋时，就想到要用石块覆盖地面或美化墙壁，要选择石块的颜色与形状，要让石块镶嵌得当，创造一个舒适美观的环境；这时在他们的心目中就有了我们今天说的“铺砌”或“镶嵌”，可以毫不夸张地说铺砌是一种艺术。荷兰画家M.C.Escher(1898-1972)，被称为20世纪画坛中独树一帜的艺术家，以其源自数学灵感的木刻、版画等作品而闻名世界。图1是Escher的名作《飞马图》，用一幅飞马图案形成的区域铺砌全平面，不重叠，无空隙。Escher创作了大量这样的作品，所以艺术界也称他为“铺砌艺术之王”(king of tessellation art)。著名英国数学家Roger Penrose在铺砌理论方面有突出成就，也是一位铺砌艺术家，他与Escher在阿姆斯特丹一次数学学术会议上结识，在数学研究与艺术创作上多有合作，相得益彰，传为佳话。我们这里只讨论用正多边形铺砌平面的相关问题。

图1 Escher的名作《飞马图》

图2

图3

在日常生活中经常会见到单一用正三角形、正方形或正六边形瓷砖铺砌的地面，无重叠，无空隙，如图2所示，抽象地说，单一用正方形可以铺砌全平面，无重叠，无空隙。正三角形与正六边形也如此。另一情形是，可同时使用几种不同正多边形铺砌全平面，如图3所示。

现讨论用正多边形铺砌平面的问题。首先引入一些基本概念与术语。

铺砌元 用来铺砌全平面的多边形称为铺砌元。铺砌元铺砌全平面既无重叠也无间隙，即所谓“不重不漏”。

铺砌的顶点和边  平面铺砌中有限个多边形铺砌元如有公共部分，即如有非空交，则非空交或是孤立点，或是多边形的边。前者称为铺砌的顶点，后者称为铺砌的边。如果若干铺砌元交于同一铺砌顶点，则称这些铺砌元与该铺砌顶点相关联。

图4

边对边铺砌  若平面铺砌的顶点和边均是铺砌元的顶点和边，反之，每个铺砌元的顶点和边也都是铺砌的顶点和边，则称这样的平面铺砌为边对边铺砌。易知在边对边铺砌中，每个铺砌元的边恰好是另一个铺砌元的边。图4(a)显示的是由正方形构成的边对边铺砌，图4(b)显示的则是由正方形构成的非边对边铺砌。

铺砌的顶点特征  平面铺砌中与铺砌顶点关联的铺砌元(正多边形)的边数与邻接顺序构成该铺砌顶点的顶点特征。若与某个顶点关联的r个正多边形的边数依顺时针方向为n₁；n₂；···；n_r，则该顶点的顶点特征用有序正整数数组(n₁；n₂；···；n_r)表示。例如图2中显示的三个铺砌其顶点特征依次是(3；3；3；3；3；3)；(4；4；4；4)；(6；6；6)，可依次简记为(3⁶)；(4⁴)；(6³)；图3中的铺砌其顶点特征则是(4；8；8)，可简记为(4；8²)。

阿基米德铺砌  满足下列条件的铺砌称为阿基米德铺砌，又称齐次铺砌(homogeneous tiling)：铺砌元均为正多边形；铺砌是边对边铺砌；铺砌各顶点的顶点特征相同，与每个铺砌顶点关联的正多边形内角和均为360°。

360°条件  对阿基米德铺砌而言，其各顶点的顶点特征相同，所以可用表示铺砌顶点特征的有序数组来表示该铺砌。平面铺砌中各个铺砌元即正多边形彼此无交叠，无间隙，对每个铺砌顶点而言，与其关联的各多边形对该顶点贡献的内角和是360°。设有序正整数数组(n₁；n₂；···；n_r)表示一个阿基米德铺砌的顶点特征，则该数组必满足下述条件：

为叙述简便，称之为360°条件。但满足360°条件的有序数组未必是一个铺砌的顶点特征，例如有序数组(3；7；42)显然满足360°条件，但不是铺砌的顶点特征，后面我们会详细论述这个问题。