冯康先生的期望

武际可

1979年在《计算数学》学报上冯康先生发表了一篇学术论文:《组合流型上的椭圆方程与组合弹性结构》。

这是一篇用数学语言对当时结构分析多单元程序系统的一篇从理论上概括总结性的论文。从行文中看出，作者的这篇文章只是一个开头，它主要是把一般组合弹性结构分析的列式交代清楚。其实，在冯先生发表这篇文章的时候，国际上多种单元的结构分析程序已经很普及了，已经有数以百计的大型通用结构分析软件投放市场。即使在国内也有像大理工学院推出的JIGFIX那样的多单元系统。

作者后面是打算给出这类问题一个理论上的彻底解决。这就是要证明组合弹性结构严格地看作组合流型上的椭圆型方程，证明它们具有椭圆型方程的正定性，从而证明用有限单元法求解这类问题的收敛性。

从这里我们看出冯康先生的超前眼光，这的确是有限单元法最核心的理论问题。

冯康先生在论文末了承诺待发表的三篇文章：

组合流型上的椭圆方程（待发表）；

组合弹性结构的数学基础（待发表）；

关于有限元法用于弹性组合结构的收敛性（待发表）。

冯康先生是我国计算数学界的著名学者，对于他的承诺，数学界、力学界、工程界，凡是对有限单元法有兴趣的学者，都翘首以待，急切地等待冯先生待发表的论文。遗憾的是，等了十几年，一直到1993年冯先生去世，也没有看到先生承诺的三篇论文面世。

其所以是这样，是因为这些题目是有一定难度的。既然是有限单元理论的关键问题，就不是轻而易举能够解决的问题。而其中最为关键的问题就是对这些组合流型上方程的椭圆性的确定，也就是要证明这些算子的正定性。

在当时的情况，已知对于弹性梁和板的方程是椭圆型的，即它们的算子具有正定性，但是许多梁、板还有栱，这些构件组合起来算子是否还具有正定性，就需要证明。何况对于薄壳算子的正定性并没有明朗。有些证明只是对特别情形例如扁壳得到的。

在冯康先生发表文章不久，在力学刊物上出现了两篇文章，这个问题由力学界的学者部分地解决了。

一篇是武际可在1981年《固体力学学报》上发表的《薄壳方程组椭圆型条件的证明》（该文完成于1979年，由于审稿延误迟了两年刊出）。它给出弹性薄壳方程正定性的一个构造性的证明。

另一篇是王大钧与胡海昌在1982年《力学学报》上发表的《弹性结构理论中两类算子正定性的统一证明》。这篇文章给出在一定条件下由弹性体算子的正定性和紧性，推出在弹性体上给了一定约束之后得到的算子仍然是正定的。这后一篇文章，直接给出一般组合弹性体算子的正定性和紧性。

隔行如隔山，如果冯康先生生前看到力学界的这两篇文章，也许他承诺待发表的三篇文章用不了三篇，用很短的篇幅便可以把他想说的部分事说清楚。不过即使有上面两篇文章作为支撑，冯先生所承诺的问题也未必能够完全解决。例如，在一维与二维交点或二维与三维交线的地方，就很难避免奇性的产生。这件事在2014年出版的王大钧、王其申、何北昌所著的《结构力学中的定性理论》中指出，在组合结构元件的Green函数为奇性处进行组合的结构，组合结构的正定性和紧性不能成立（其实只要在梁和杆与三维体的交接面上引进平截面假定，这种奇异性就会消除）。可见冯先生对这个理论问题的复杂性一开始是估计不足的。

无论如何，冯先生虽然不能彻底解决所提出的理论问题，但是借助已有的成果，把这个问题向前推进一步总是能够做到的。但是冯先生的志趣是高远的，由于没有找到彻底解决的结果，宁愿不着一字。所以最后留下了没有下文的遗憾。

科学的发展，经常是，前代提出问题等待后人去解决，冯先生提出的这类难题等待着后学去彻底解决。

                 2020，7，27

部分地