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数量级物理学的故事(9):Fermi的trick (2)

已有 5866 次阅读 2012-12-15 11:54 |个人分类:学海无涯|系统分类:科普集锦| 物理学, 数量级, Fermi故事

让我们回头来看看Taylor的分析。
 
在这个问题的量纲分析中,需要考虑与问题有关的物理量,包括大气的温度、比热、质量密度等。Taylor的分析讨论了比热的影响,发现这个影响的因子是O(1)的数量级。而对于爆炸火球所产生的高温高压气体来说,大气温度的影响可以忽略。所以只需要用到大气的质量密度。
 
但是对于10英里之外的冲击波来说,其温度已经和大气温度是一个数量级。这样Taylor使用的忽略了大气温度的分析方法就不适用了。
 
那么Fermi是用了什么分析方法呢?他自己没有说,其他人也没有做——或者也可能有人尝试过,但是根据Fermi说的那两个数据,没有能做出来。
 
我们不妨来试试:
 
首先,在10英里这样远的距离上,用什么公式分析合适呢?
 
这时,单位面积、单位时间冲击波的能量应该是(1/2)rV3,这里V是冲击波在这个距离上的速度。然后从量纲分析可以知道,冲击波“球”面波前的面积大约是(Vt)2。可以得到:
      

P= E/rV5t3 ,

 
 
从而估算出:
 
      E=PrV5t3  .
 
 
于是我们需要知道在那一点冲击波的“风速”!
 
这就是为什么Fermi要撒一把小纸片!
 
Fermi可能会一些精巧的计算——比如利用大气的粘滞系数来直接求风速。但是我们也可以做数量级分析:
 
我们知道重力加速度g(近似等于10m/s2),纸片飘落的距离x(=2.5m),距起爆的时间t(=40s),距爆心的距离L(=1.6x104m,这个数据是我们查出来的,Fermi没有提到)。这样可以利用量纲分析估算出两个速度:V1=(2gx)1/2=7m,V2=L/t=400m。
 
这两个数值显然可以看成是“风速”可能的上下限。利用数量级估计的几何平均法可以得到:V=(V1V2)1/2=53m。
 
可以近似得到:E=3.35x1013J。
 
这个数字大约是0.8万吨TNT当量,与Fermi所估计的大约1万吨TNT当量相差无几。


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