50 年代末到60 年代初, 航天技术的发展涉及到大量的多输入多输出系统的最优控制问题, 用经典

控制理论已难以解决. 数字计算机的出现使得亨利￠ 庞加莱(1875-1906) 的状态空间表述方法可以作

为被控对象的数学模型和控制器设计与分析的工具.于是产生了以极大值原理、动态规划和状态空间法

为核心的现代控制理论。

1. 经典状态空间法：  

State Space Model 状态空间模型包括两个模型：

一是状态方程模型，反映动态系统在输入变量作用下在某时刻所转移到的状态；

二是输出或量测方程模型，它将系统在某时刻的输出和系统的状态及输入变量联系起来。

如下 : 离散状态空间模型.

其中，k为离散时间，x_k 为状态变量，y_k为观测，u_k,v_k为噪声。f_k(.)为状态模型，h_k(.)为观测模型。

状态空间模型提供一种方便、有效的时序递归的贝叶斯最优估计框架，因此有了坚实的理论基础。开山之作就是卡尔曼滤波，见下文的回顾：

• Approximate Gaussian Conjugacy: Parametric Recursive Filtering under Nonlinearity, Multimodality, Uncertainty, and Constraint, and Beyond, Frontiers of Information Technology & Electronic Engineering, 2017, 18(12):1913-1939,   ＬＩＮＫ

其中特别值得一提的是，哈佛终身教授何毓琦院士1964年发表于TAC的经典文章最早（之一）阐释了卡尔曼滤波和贝叶斯最优估计的关系。这极大助力了后来卡尔曼滤波的蓬勃发展 ，至今已有近六十年（因为一个方法关联一个伟大的理论，将如虎添翼！）：

Ho, Y., Lee, R., 1964. A Bayesian approach to problems in stochastic estimation and control. IEEE Trans. Autom. Contr., 9(4):333-339.

状态空间模型的假设条件是动态系统符合马尔科夫Hidden Markov Model (HMM)特性，即上面的x_k =f_k(x_k-1 , u_k)，即给定系统的现在状态，则系统的将来与其过去独立；这给建模和递归计算带来了极大方便。然而，HMM受限很多，对真实世界的刻画并不一定准确甚至有效，特别是，随着传感大数据时代的到来，其一些弊端日益突出. 毕竟我们今天的传感器和外界条件和卡尔曼、何院士的60年代完全不可同日而语: 目标变得越来越狡猾，难以用简单的HMM建模。特别是系统统计信息缺失(如不知道目标的运动模型，不知道系统噪声、甚至观测噪声模型，以及各种的复杂系统关联、时滞和耦合等等)，根本无法构建较为准确甚至有效的的状态空间模型，

2. 抛弃HMM： 对于传感器数据越来越多，传感器精度越来越高的情况，是否可以有新的解决方案（HMM弃之不用）呐？见 ： 如果我有成百上千个传感器，是否还需要动态模型？  以及  轻松多传感器多目标探测与跟踪！这类方案主要应对完全未知系统背景，但数据量很大的情况

Remember that all models are wrong; the practical question is how wrong do they have to be to not be useful.

--  Box, George E. P.; Norman R. Draper (1987). Empirical Model-Building and Response Surfaces, p. 74

3.  数据驱动的新框架：

既然经典方法成也萧何（HMM）败也萧何（HMM），除了弃之不用（太过消极了点）之外，更恰当的解决方法是寻找一个更符合自然规律和更能够准确描述真实世界的替代模型。 下文提出了一种取代HMM的新框架：

• Joint Smoothing, Tracking, and Forecasting Based on Continuous-Time Target Trajectory Fitting, IEEE Trans. Automation Science and Engineering, Oct. 2018. DOI:10.1109/TASE.2018.2882641. @ IEEE Xplore Pre-print @ arXiv:1708.02196 [stat.AP] 

  Joint Smoothing and Tracking Based on Continuous-Time Target Trajectory Function Fitting

  论文中提供了程序源代码(链接)

Abstract:

This paper presents a joint trajectory smoothing and tracking framework for a specific class of targets with smooth motion. We model the target trajectory by a continuous function of time (FoT), which leads to a curve fitting approach that finds a trajectory FoT fitting the sensor data in a sliding time-window. A simulation study is conducted to demonstrate the effectiveness of our approach in tracking a maneuvering target, in comparison with the conventional filters and smoothers.

基于数据驱动的估计新框架（与基于HMM的经典状态空间法的思路相比）的核心在于将HMM替换为一个连续时间上的目标轨迹曲线函数 FoT (Function of Time)

x_k = f(t) ,

从而将传统的"滤波、平滑与预报"等估计问题转化为一个连续时间窗内的曲线拟合和参数学习问题，即可用一个参数化的函数近似曲线轨迹函数：

F(t;C_k )≈f(t),

其中C_k 为待求参数。从而可以采用聚类、拟合与机器学习等数据驱动的工具与方法解决复杂场景下的（多）目标探测、跟踪与预报问题，这样就有望克服传统方法严重依赖目标模型假设、机动探测时滞、对错序数据敏感等难题。如下图所示：

上图中，左侧为 经典的滤波估计方法：KF: Kalman Filter, AGC: Approximate Gaussian Conjugacy, PF: Particle Filter, MHT:  Multiple hypothesis tracking, FISST: Finite-Set Statistics. 等等.....近六十年的发展，出现了非常多的理论和方法。

右侧为数据驱动的新范式：O2: Observation-only ，C4F: Clustering for Filtering ， F4S：Fitting for Smoothing ， FTC： Flooding-then-Clustering -， T-FoT: Trajectory Function of Time。

两者均采用相同的观测模型 y_k=h_k(x_k,v_k), 但是不同的状态模型: 经典状态空间法采用HMM，新范式采用轨迹FoT。

一提到曲线拟合或者回归分析，可能会觉得计算效率低，不如递归迭代计算所以不能满足实时性？事实上：

1. 对于线性观测系统，那么只需要线性拟合，并一般定义量测误差为范数2的马氏距离，曲线拟合退化为加权最小二乘直接给出，计算效率胜过线性卡尔曼滤波。

2. 对于非线性观测系统进行线性拟合如多项式拟合，拟合需要往往需要迭代近似。对于非线性观测系统下的曲线拟合计算效率至关重要的是 参数的初始化，

C_k =C_k-1 + ρ_k

可大大加速计算效率（甚至一两步的梯度下降法就可以搜索到收敛的参数估计），从而可能使得拟合的计算效率扩展卡尔曼滤波（需要计算雅可比阵）还快 --- 这可能超出我们直觉想象 -- 不试不知道！

更进一步，如果系统含有约束条件呐？仍然可以有效解决，请参考下文：

4.  约束下的SSM和轨迹曲线拟合：

Single-Road-Constrained Positioning Based on Deterministic Trajectory Geometry

Tiancheng Li， IEEE Communications Letters ( Volume: 23 , Issue: 1 , Jan. 2019 ) pp.。 80-83

论文中提供了程序源代码(链接)

Abstract:

We consider the single-road-constrained estimation problem for positioning a target that moves on a single, deterministic and exactly known trajectory. Based on the geometry of the trajectory curve, we cast the constrained estimation problem as an unconstrained problem with reduced state dimension. Two approaches are devised based on a Markov transition model for unscented Kalman filtering and a continuous function of time for (weighted) least square fitting, respectively. A popular simulation model has been used for demonstrating the performance of the proposed approaches in comparison to existing approaches. 

请参考论文。下面给出该短文关键部分的一些截图。