工科讲授量子力学是一大问题, 因为没那么多课时. 但如果讲不清楚, 学生会越学越有畏难情绪.

薛定谔方程本身并不暗示能量量子化. 事实上量子力学的能量并不都是量子化的: 只有束缚态的能量才量子化, 而平面波可以取连续能量谱. 可见, 量子化是由于边界条件造成的. 薛定谔方程立即带来的一大进步在于: 束缚态边界条件导致的量子化是数学的, 自然的; 而不像在玻尔和索末菲那里是 "强加" 给原子的.

我想出一种介绍能量量子化的方法, 以前发在水木上, 但无人讨论, 现在转述在下面. 但想到黑体辐射处理的是辐射场而不是电子, 这样讲或许是错误的, 请提出批评指正. 我想如果换成一维无限深方势阱来讲就没问题了.

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半导体物理的课程要介绍一些量子的概念, 讲量子一般又从黑体辐射讲起, 黑体辐射的能量量子化是因为黑体体积受限, 所以能量被量子化了. 但如果还没学过什么周期性边界条件又不好理解这个.

我想这样类比: 位置和动量是互为傅立叶变换（学过电路或者信号的人都知道傅立叶变换）.  黑体辐射能量量子化等价于光的动量量子化, 而 E=cp 就差一个光速. 动量量子化源于实空间受限（黑体是个球挖个小洞）. 这等价于数学上的傅立叶变换理论：实空间受限则 k 空间离散，实空间离散则 k 空间受限. 工科同学在数字通信领域早就领会到了这点, 就是频谱受限的连续信号总可以通过一定的采样频率无损地用离散信号表达出来. 这个称为奈奎斯特抽样定理的重要结论, 如果不针对时域和频域来讲, 而是推广到位置-动量傅立叶变换对, 就可以辅助理解量子力学.

要通过量子力学的例子说明这个抽样定理就用固体的格波. 晶格是离散的, 画格波的话就会发现: 虽然理论上波矢 k 可以很大, 但超过一定大小的 k 并不给出新的振动模. 晶格常数 a 就等于最小的波长的一半. 波长有最小值, 所以 k 有最大值. 因为实空间离散了, 所以 k 空间有上限, 也就是动量就有上限.

由于傅立叶变换是对称的, 反过来知道实空间如果受限（黑体）则动量就变为离散的. 由于 E=cp, 所以能量也离散了.