哥德尔和他的不完全性定理是数理逻辑中的辉煌和硕果，关于数理逻辑我曾经略微学习了解，我对这门学科的一个印象是太形式化了，一段平常的语句并不一定能形式化表达而且就算是把它数理形式化了其表象是复杂繁琐的。我自认为我研究的是数学逻辑而非数理逻辑，我对数学逻辑的认识是这样的：古希腊的毕达哥拉斯、赫拉克利特和巴门尼德之间的哲学体现了数学、逻辑(逻各斯)和形而上学关系，这三者之间的关联在近代的笛卡尔、莱布尼茨和康德那里又出现了；逻辑学是数学与形而上学之间的桥梁，数学逻辑的目的是通往形而上学。而数理逻辑的萌芽在莱布尼茨和赫拉克利特那里有冒出的迹象。

      哥德尔与不完备性定理据说在数学哲学中具有相当重要性，我曾从一本介绍二十世纪数学哲学的著作中看到作者说：凭借不完备性定理哥德尔是自亚里士多德后最伟大的逻辑学家。我认为这句话里的“逻辑”二字前面加上“数理”作为约束或限制是恰当的，因为在哥德尔之前有伟大的莱布尼茨、康德与黑格尔的逻辑哲学，当然我经常在逻辑史学著作中看到很多数理逻辑学家的名字而对那些逻辑哲学家只字不提。曾经在中关村那边求学时听过作者关于数学哲学的报告并提问：“您怎么看待形式逻辑和辩证逻辑的问题？”得到的回答是：“辩证逻辑和辩证思维是好的，比如单调性逻辑，但就是不能流于书上的说法云云…对于国内学者这方面的研究我并不清楚。”我对国内人文学者关于形式逻辑与逻辑哲学的关系研究有所了解，主要是邓晓芒教授的《康德先验逻辑对形式逻辑的奠基》和《黑格尔辩证法为形式逻辑的奠基》两篇代表性文章，它们都会认为形式逻辑(包括数理逻辑)是较初等的虽然出现得比较晚，而先验逻辑和辩证逻辑更为高级。我心中的数学逻辑应该从这种逻辑哲学中去挖掘和取材。

       后来我真的就在这方面有了突破并与邓晓芒教授交流，事情是这样的：我认为数学是关于真与美的一门科学，哲学家康德的《纯粹理性批判》和《判断力批判》恰好就以求真和求美为主题，所以我定下一个规则，就是从康德的这两本著作来开启数学哲学研究，康德还有以善为研究对象的著作《实践理性批判》，可是数学与善好像没什么关系；但我后来接触到希尔伯特形式化公理化的观点后感觉它与道德伦理有关，所以康德的《实践理性批判》适合用来研究数学内在规范和伦理的问题，《康德先验逻辑对形式逻辑的奠基》这篇文章启示我《实践理性批判》一书有形式逻辑的基本思想；我曾在《实践理性批判》句读新书发布会上问邓晓芒教授：…那是不是可以说《实践理性批判》一书中有形式逻辑的基本思想？邓晓芒教授作了肯定性的回答。

      虽然我自认为在数学逻辑上有突破性的观念，但实践起来或发表这些想法困难重重。凭借自己的的想法对哥德尔的不完备性定理作一种逻辑的认识是可以的。

       首先需要介绍希尔伯特的形式化理想，我虽然关于这些听闻不少，但还是从豆包里搜集相关论述。

      希尔伯特纲领的目标是：用有限主义方法，证明全部数学形式系统的自洽性，把数学彻底变成封闭完备的符号演算。

       而哥德尔证明：足够强的算术系统，不可能用系统内部有限手段证明自身无矛盾。

       所以：希尔伯特原纲领无法实现，迫使数理逻辑转向新路径。

      关于希尔伯特的想法，我想从我对数学相关内容的熟知来解读一下，希尔伯特很清楚微积分在数学中的地位和数学发展中的推动作用，我们知道微积分的实数理论基础总结起来是若干条能相互推导的定理，这几条定理是不是就体现了“有限主义方法”？还有Hilbert空间也由几个形式来规定，所以有限的形式化和公理化在数学中确实存在。但整个数学的基础是否如微积分一样能被少数几条公理概括犹未可知，数学的基础是否如微积分背后的实数一样是完备的对象也未可知，而我认为数学不可能是封闭的。

       哥德尔的证明在我看来就是：比较复杂的形式系统里存在不能自证的命题，也就是说不是封闭的。可以在微积分中举一个例子，就是函数连续和它可微之间的关系，数学家魏尔斯特拉斯中找到了一个函数处处连续但无处可微，这是经验的发现，并没有听说从实数的原理出发论证Weierstrass的新发现。所以数学没有止步于微积分，而是向着现代数学迈出坚定的步伐。

       希尔伯特是他那个时代的伟大数学家，他的纲领立足于他的数学研究和和对数学的切身领悟，但他越界了，跳到了一种偏僻狭隘的形式逻辑范畴里。我相信希尔伯特认真读过与他同在一个地域的伟大哲学家康德的著作，但读不懂康德的先验逻辑思想，当然也不会读到康德的《实践理性批判》里有自己的数学形式化思想理念。希尔伯特的思想体现了从数学到逻辑的前进，按照西方数学哲学史上的“数学—逻辑—形而上学”路径，希尔伯特的形而上学倾向体现在哪里呢？我认为就是“元数学”学说。按照我对数学、逻辑和形而上学关系的理解，希尔伯特的“元数学”应该是“原数学”，就是它是“数学的本原问题”，而基于形式逻辑的“元数学”只能又是不完全性定理的靶子。

       哥德尔的不完备性定理并没有给逻辑学以震动，在我看来。形式逻辑本来是较为粗浅的逻辑思维，只不过随着计算机技术的发展逻辑规则的重要性凸现了。近代的西方哲学家莱布尼茨、康德和黑格尔都不满足于亚里士多德的形式逻辑并提出自己的逻辑认识论，国内人文学者也不会把形式逻辑放在较高的逻辑思维位置。至于我，则对数理逻辑与数学的关系表示怀疑，就是数学的发展跟数理逻辑有多大本质关系？我认为没有多大关系，原因是“原数学”——数学的本原不是数理逻辑。有一个说法是集合是数学里最原始的概念，那么数学的本原就是集合(论)，集合能解释数学中的对象和命题吗？不能。所以数学的基础并非集合也非数理逻辑，反而数理逻辑的基础(集合)是数学的一个对象，数理逻辑是数学的某种形式化，这一形式化理论并不能囊括数学的所有真理。关于大名鼎鼎的哥德尔有很多传闻，比如爱因斯坦下班后能同哥德尔散步是幸事，我从国内研究现象学的专家倪梁康教授的文章那里得知：哥德尔对自己的研究结果比较失望，转头读了很多德国哲学家胡塞尔的书籍并作了大量批注，而胡塞尔从笛卡尔和康德那里继承了理性主义哲学。发现形式逻辑(形式系统)的缺陷这并不稀奇，如果形式逻辑没有这些缺点近代的康德黑格尔就不会那么对亚里士多德的形式逻辑不满了。

       对于哥德尔的逻辑发现我有一个评价，就是它不是逻辑思想，因为所谓的“思想”是某种能跨学科并能在各种不同学科中显现的理念。但从豆包上我得知：大量逻辑系统不受不完备定理约束；定理属于元数学结果，逻辑上不能直接外推哲学、心灵、人文社会。把逻辑特别是与数学有关的逻辑推广到人文社科等领域是数学家兼逻辑学界的莱布尼茨提出的“普遍代数学”想做而没有做成的事情，而后的哲学家康德与黑格尔似乎有所进展，因为邓晓芒教授的文章《康德先验逻辑对形式逻辑的奠基》说：理性的先验理念…然而它们更重要的运用是用来进行实践理性的超验的“悬设”，即用于道德和宗教信仰方面。总地来看，所谓“奠基”就是把形式逻辑中只表现为抽象形式的概念、判断和推理都引回到它的发源地，即能动的认识主体和实践主体。《黑格尔辩证法为形式逻辑的奠基》中说：在黑格尔看来，形式逻辑只有从内容方面来理解才有认识上的价值和意义，而这也就意味着它只有建立在辩证逻辑的基础上才有意义。

       逻辑思想既然是跨越数学与哲学的某种关系学说，那么我曾经研究并提出的笛卡尔哲学和莱布尼茨哲学与微积分的关系就是我的逻辑发现，我也有把这些认识推广到“哲学、心灵、人文社会”的想法，具体是“数学思维建模”的理念。如果说计算机科学进一步发展是人工智能科学，而人工智能有“哲学、心灵、人文社会”这些主题，那我相信数学与哲学之间的逻辑思想是未来人工智能科学的基础。

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