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方程的协变性是相对性原理的表现形式

摘要：文章说明了方程的协变性是相对性原理的表现形式，纠正了部分文献把二者区分开来的错误做法，进一步研究了出现这种现象突显的思维风格.

关键词：方程的协变性；相对性原理；；

中图分类号：O313.1文献标识码：A

一、方程的协变性是相对性原理的表现形式

协变一词在普通物理中出现的不多，但却是近代物理中相当著名的词汇，其本意是指物理规律满足相对性原理的一种性质，而且近代物理很注重把协变性作为鉴别物理定律的判据.通常认为方程的协变性具有特别重大的意义，协变性的含义如下：凡施行坐标变换，应变量（函数）亦必按确定的（例如张量的）规则而变换，我们研究坐标变换时必须同时注意原来的和变换后的函数所满足的方程形式，如果变换后所得到的新变量的新系数和旧变量的旧函数—样能满足同样形式的方程，则方程就是协变的，由方程的协变性，使我们无须预先选定坐标系就能写出方程，此外因为方程的协变性限制方程形式的种类，同时还帮助挑选正确的形式，故方程的协变性对推动研究工作有重大的意义.但必须着重指出，仅当引入函数的数目亦有限制时，协变性对方程的形式的限制方属有效；如果能引进任何数目的新辅助函数，那事实上可以赋予任何方程以协变的形式.因此方程协变性本身绝不表示任何物理定律，例如在质点系力学中，第二类拉格朗日方程对任意坐标变换都是协变的，而用直角坐标系写出的第一类拉格明日方程则不是协变的，但前者与后者比较，并不表示任何新的物理定律.在拉格朗日方程的情况下，协变性是这样达到的，就是引进用速度表示的二次（不一定是齐次的）拉格朗日函数的系数作为新的辅助函数.

现实物理学的基本原理是客观性原理，该原理要求在物理理论中排除观察者的主观因素.观察者的作用是测量和计算，它在物理学中具有不可忽视的地位和影响.经典物理学借助坐标系进行测量，坐标系包括参考原点和坐标基矢，这两者依赖于观察者的主观选择.爱因斯坦相对论的目标是消除参考系和坐标基的主观效应，但是仍然保留了观察者的地位和坐标系的使用.现实物理学的客观性原理要求拒绝观察者的介入，抛弃坐标系在物理理论中的应用.替代坐标系的方案是引进真实量概念，将物理量表示为标度因子和数字因子的乘积，从而免除参考系和坐标基变换的复杂运算.真实量概念是基本公设的建模基础，标度因子则是与量子相对应的数学概念.客观性原理要求物理理论满足原点无关性和标度无关性（或标度协变性），由此确定了真实量的数学运算规则（包括加减、乘除、微分、积分、微商），保证了现实物理学理论的统一性和普适性.

狭义相对论是研究时空性质与物质运动关系的科学理论，自从1905年爱因斯坦发表《论运动物体中的电动力学》一文为标志宣告诞生以来，至今已过百年了.在当时经典物理学陷入严重危机，科学界众说纷纭、莫衷一是的情况下，爱因斯坦独辟蹊径，从一个新的视角研究了整个问题，提出了一系列新概念、新原理，建立了狭义相对论的理论体系.不仅解决了当时科学界所面临的一系列疑难问题，还为以后物理学的发展开辟了一条新的道路，为现代物理学的建立奠定了基础.百多年来，相对论在全世界广泛传播，被应用于各个学科领域，取得了辉煌的成就，在科学界赢得了崇高的地位.爱因斯坦在这一领域为人类做出了开拓性的贡献.爱因斯坦说自然界规律对于洛伦兹变换是协变的，由爱因斯坦作了序言的文献[1]中说过：“力学定律在所有的惯性系(即对任一惯性系进行任意的伽利略变换而得到的所有坐标系)中采取相同的形式”.由此如文献[1]说：“伽利略相对论原理在数学上表现为矢量力学的基本方程在伽利略变换下是不变的或协变的.所谓协变性是指物理定律的表示形式不因坐标系的不同选择而有所改变.”文献[2]说:“经典力学对伽利略变换来说是协变的”.文献[3]说：力学运动方程具有伽利略变换的不变性，文献[4]说明满足力学相对性原理就是对于伽利略变换是协变的.文献[5]认为机械能守恒定律不是一条基本的物理规律是完全错误的，文献[6]认为机械能守恒定律不是一条普遍的物理规律是相同的错误.爱因斯坦认为：“必须承认经典力学在相当大的程度上是‘真理’……因此，在力学的领域中应用相对性原理必然达到很高的准确度.一个具有如此广泛的普遍性的原理，在物理现象的一个领域中的有效性具有这样高的准确度，而在另一个领域中居然会无效，这从先验的观点来看是不大可能的.”^[7]

与牛顿力学对相对性原理的理解一样，狭义相对论对相对性原理的理解也应当是，运动速度是一个相对的概念，而不是运动方程的不变性.实验者无法通过实验来判断自己到底是静止还是处于相对运动状态，这才是相对论的本质.加上第二条假设光速不变原理，就可以导出互逆的洛伦兹变换.仔细考察洛伦兹变换的导出过程可知，其中只用到运动速度的相对性和光速不变性，没有用到运动方程形式的不变性.由于从狭义相对论的两条原理导出的只是洛伦兹变换及其互逆性，相对论的其他一切推论都应当从洛伦兹变换得到，不应该再有其他附加的东西.因此对于一个物理学的运动方程，如果满足洛伦兹变换不变性，我们就说它是合法的，如果不满足洛伦兹变换不变性，我们就说它是不合法的.不应该将运动方程的不变性或协变性作为相对论的基本假设之一，运动方程是否不变，这是需要证明的，不应该是预先设定的.

狭义相对论中坐标变换服从洛伦兹变换，狭义相对论性原理要求所有表达物理规律的方程对于洛伦兹变换是协变的.然而电动力学方程的洛伦兹协变性并不像牛顿运动方程那么简单，一般是先确定洛伦兹变换的性质，它是四维时空的正交变换，然后把方程及方程的各个物理量写成四维形式，从而说明这些方程在洛伦兹变换下将保持不变.

恩格斯指出：“在自然科学本身中，我们也常常遇到这样一些理论，在这些理论中真实的关系被颠倒了，映现被当作了原形，因而必须把这些理论同样地倒过来.”（《自然辩证法》）按照通常的观点，相对性原理是指作为实验结果而总结出的物理定律，对于一类参考系是相同的.数学上物理定律大都以微分方程表示.在物理定律以微分方程表示的情况下相对性原理在数学上的表示，就是这些方程在一类参考系中的形式相同，或者说，对于一类参考系这些方程是协变的.因此按照通常的观点，人们之所以能断定表述物理定律的方程是协变的，这是以相对性原理为根据的，离开相对性原理而谈表述物理定律的方程的协变性，那是无稽之谈.相对性原理是指表述物理定律的方程(而不是其他的方程)对于一类坐标系是协变的.对于表述物理定律的方程，如果没有什么根据，那末即使引进一个辅助函数也是不允许的，而所谓对方程协变性的纯粹逻辑的自然要求决不能是什么根据.文献[8]明确指出：相对论工作者对于相对性原理的一般理解为：在两个不同的坐标系中用微分方程来表达的物理过程具有协变性.广义协变原理，可以认为是等效原理的一种数学表示，即认为反映物理规律的一切微分方程应当在所有参考系中保持形式不变，也可以说认为一切参考系是平等的，从而打破了狭义相对论中惯性系的特殊地位，由于参考系选择的任意性而得名为广义相对论.

二.把相对性原理和单独协变性区别开来的思维风格

所谓逻辑思维，就是指我们的思维方式必须符合逻辑学的三个基本原则：同一律、排中律和矛盾律，尤其是不能违反矛盾律.世界上的事物和事件，因为时间与空间上的变动性或不确定性的，常常是充满矛盾的，但我们在形成理论时，就必须先要在概念上做出明确区分，这些概念就绝不能自相矛盾.这是科学研究的第一步.所以严格来说，在任何逻辑系统中绝不允许任何违反矛盾律的命题存在，当出现矛盾命题时原则上均可增加新的状态算子来予以消除.这是一切科学演绎系统赖以建立的逻辑基础.现在许多人都在讨论辩证逻辑，认为矛盾律可以不成立，这种观点无疑是错误的，任何矛盾律不成立的“逻辑”都不是真正的逻辑推理，它可能就是别的什么思维方式了.

在现实世界中，矛盾律毫无疑问是不成立的，矛盾处处存在，但在把各种杂乱无章的经验现象概括成演绎理论时，就必须消除掉其矛盾性.现代数理逻辑已经证明：如果低阶系统还不能完全消除矛盾，则可构造高阶系统来消除.现象与思想都存在矛盾，但逻辑的任务就是努力消除这些矛盾，从而构建起一幅清晰的世界图象.任何逻辑系统最关键的地方就是看它如何处理矛盾.西方形式逻辑就具有这种特征，逻辑学与数学每次重大的发展，差不多都是由设法解决系统内的矛盾（悖论）来推动的.

那么，我们提问：中国逻辑思维具有这种不断消除矛盾的特征吗？对于这样一个逻辑问题，是无法用日常语言说明白的，只能通过构造某种形式语言来讲清楚.

我们来分析一个具体的逻辑命题.譬如，有一杯处于饱和状态的糖水，并假设在特定的温度与压力下，其糖、水的含量完全相等，我们就问：这“糖水”，究竟是糖还是水？注意，这里我问的不是一个物理知识的问题，而是一个纯粹的逻辑问题.如按中国的逻辑思维，几乎所有人都会回答：这“糖水”既是糖也是水，因为它既含有糖也含有水.但如按照形式逻辑的推断，答案却截然相反：这“糖水”既不是糖也不是水.推论如下：如果假设这“糖水”是水的话，那它必然也是糖，反之亦然，因为糖、水在逻辑上并无任何差别；但这样就明显导致了一个矛盾，即有些糖是水，而有些水又是糖，所以“糖水”既不是糖也不是水.这个命题其实就是“白马非马”的翻版，不过比它形式上更精致.

为什么会有这么大的差异呢？这是因为，在西方逻辑思维中，“糖水”在逻辑上是个不可分割的概念，它是完全创造出来的一个新概念，就相当于构造出一个高阶谓词，即把二元谓词Q（糖，水）扩充为一个高阶谓词Q′（糖水），从而消除掉系统内的矛盾，即矛盾必须在更高的一个逻辑层次上才能消除.这种逻辑思维可称之为“递归逻辑”.而在中国逻辑思维中，“糖水”是糖与水的混合物，在逻辑上可分离开来，它既是糖又是水，“糖水”不是一个新创造出来的概念，系统内并没有增加任何新的知识，因此就不能消除掉系统内的矛盾.这种逻辑思维可称之为“循环逻辑”.中国逻辑思维很容易陷入循环论证的陷阱，缺乏那种提出新概念或新假说来解决矛盾的内生能力，这是中国不能产生近代科学的根本原因.

正是因为中西逻辑思维存在如此巨大的差异，所以中国人就没有形成演绎思维的传统，而是走上了另外一条思想之路.一个非常有说服力的例子就是，中国算家在解高次方程方面要领先欧洲五百年，但他们从来没有想出过“虚数”的概念，而欧洲人在解高次方程时自然地引进了“虚数”的概念.不同的逻辑思维对中西科学思维的演进方向产生了决定性的影响，逻辑思维是科学思维的基石.

那么，中国人是如何进行推理的？中国传统逻辑思维的推理方式是“类推”，即：如果确定两个事物p和q之间具有某种“可达”关系R，且确定p具有性质Q，则q也具有性质Q.推理格式如下：

pRq∧Q(p)→Q(q)

对中国人来说，世界的本原不是实体，而是关系，但确定两个事物之间具有某种关系，他们是通过经验来认识的，因此并不精确，但上述推理格式本身是正确的，它其实是逻辑语义学的一个定理，因此中国逻辑推理模式是符合逻辑规律的，不能说中国人的思维没有逻辑.我们把亚里士多德的三段论称为“主谓三段论”，而把上述三段论称为“范畴三段论”.中国逻辑推理虽然没有固定的主谓结构，而只是范畴关系的置换，但它也具有机械化、程序化的特征.像阴阳、五行、八卦以及算筹、算盘这些传统推理模式，其实都是一种程序算法，并依赖于其系统内在的范畴关系.梁宗巨等人就认为：“考察筹式，不难发现，这里，不同的位置具有不同的数学意义，这一点与《周易》的卦象不同位置表示不同意义，以及汉字构型中位置识别意义是相通的”，并且“‘术’是在人们对算筹，尤其是运筹动作的直觉把握的基础上得出来的：采用某种方法运筹，就可得出某种结果，以对运筹动作直觉把握的某种信念来保证其正确性.”^[9]李继闵先生也指出，中国古代“天算家使用通其率术，首先需要考察渐进分数列e₁∕c₂，e₂∕c₂,…，e_n∕c_n的增减性状与误差程度；而用课分术求相邻二渐进分数的‘相多’，就自然会引导出‘求一术’的发现.……如果说古希腊数学理论的逻辑特征是演绎法，那么中算家的算法理论则以归纳法为其擅长.因而，古代的天算家从反复千百次这样的‘课分’之中发现这一规律从而创造了‘求一术’，便不是什么神奇的事了.”^[10]因此，中国古代数学只是一种求近似值的程序算法，它对现代数学的价值不能高估.

我再打个形象的比喻来说明中西方传统逻辑思维的差异性，大家可能一下子就搞明白了.西方逻辑思维模式类似于“化合物”，譬如氯和钠发生化学反应生成氯化钠，它既不是氯也不是钠，而是形成一种新的物质（即概念）；但中国逻辑思维模式类似于“混合物”，譬如糖和水发生物理反应生成糖水，它既是糖也是水，并未形成一种新的物质（即概念）.所以，中国逻辑思维模式很难形成新概念，易陷入循环论证，缺乏那种内生的概念思维创造性，这是中国古代科学（或科技）最终落后于西方近代科学的根本原因.

正因为中国人的思维风格中侧重于研究关系学，所以在研究机械能守恒定律和力学相对性原理之间关系时，出现了一种错误的倾向，不去研究具体问题中出现的矛盾的根源所在，而去研究相对性原理和协变性之间的关系，把二者区别开来，把协变性分为单独协变性和联合协变性，每一条物理规律都属于一个协变集，普遍规律具有单独的协变性，非普遍规律不具有单独的协变性，但是可以导出.^[11～^18]历史上曾经有“许多著名的理论物理学家比较倾向于舍弃相对性原理”；^[19]而且著名的实验物理学家菲利普·莱纳德（1905年的诺贝尔物理奖获得者）更是坚决摈斥“相对性原理”.^[20]

相对性原理(平权性原理、协变性原理)可以分为“位置(坐标)函数”的“零阶相对性”即“位置相对性”或曰没有独尊的(中心)位置(所有位置都是平权的)以及“一阶相对性”即运动速度的相对性(没有绝对的静止)还有“二阶相对性”即加速度的相对性此时必须借助等效原理.

有人认为：惯性系对于力学规律是平权的，意味着力学规律的数学表述具有协变性，不是意味着力学规律的结论具有协变性.在一个惯性参考系中，质点系相对某点角动量守恒，意味着质点系对该点的力矩和为零，如果变换到另外一个惯性系，参考点发生变化，质点系对该点的力矩和可能就不为零，条件发生了变化，结论自然会发生变化.爱因斯坦指出：“必须承认经典力学在相当大的程度上是真理……因此，在力学的领域中应用相对性原理必然达到很高的准确度.”爱因斯坦根据力学相对性原理作出了两个斩钉截铁的断言，断言一：“假如两个坐标系相对转动，那么力学定律不能在两者之中都有效.”^[21]断言二：“假使有两个坐标系，相互作不等速运动，则力学定律不会在两者之中都是有效的.”^[21]爱因斯坦强调：“在狭义相对论中，自然律也是仅在引用惯性系作为空时描述的基础时才是有效的.惯性原理和光速恒定原理只有对于一个惯性系才是有效的”！

对于科学研究中的认识论问题，爱因斯坦曾指出：“即使是有勇敢精神和敏锐本能的学者，也可以因为哲学上的偏见而妨碍他们对事实作出正确解释.这种偏见──至今还没有灭绝──就在于相信毋须有自由的概念构造，事实本身就能够而且应该为我们提供科学知识.这种误解之所以可能，只是因为人们不容易认识到，经过验证和长期使用而显得似乎同经验材料直接相联系的那些概念，其实都是自由选择出来的.科学史上经常碰到这样的情况，一些重大的问题似乎已经得到了解决，但是却以新的形式重新出现，这也许就是物理学的一个特征，并且某些基本问题可能会永远纠缠着我们.”

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