杨辉三角作为一个蕴含着深刻数学美感的几何结构，几个世纪以来一直吸引着数学家们的关注。虽然它以法国数学家布莱士·帕斯卡的名字命名，但其起源可以追溯到更早的中国和波斯数学传统。11世纪的中国学者贾宪在其著作《释锁算书》中记录了这一三角形结构，后来杨辉在《详解九章算法》中引用了贾宪的工作。而法国数学家帕斯卡 (1623 – 1662) 要晚几百年才发现它。

杨辉三角在组合数学中具有基础性地位，产生了诸多经典恒等式，如子集枚举公式。这些系数在概率论中也发挥着核心作用，特别是在伯努利试验建模以及费勒在极限定理中所形式化的统计推断基础结果中。除了组合学和概率论，杨辉三角还蕴含着丰富的数论结构，最引人注目的是，斐波那契数列沿着其对角线出现，展示了组合数组与递归序列之间的深刻联系。

杨辉三角在模运算下展现出引人注目的分形性质，特别是形成谢尔宾斯基三角形图案，这已被应用于计算模型和图像压缩算法中。在计算机科学中，其递归结构支持动态规划，并实现了具有线性空间复杂度的高效行生成算法。杨辉三角中的二项式系数还在工程领域纠错码的设计中发挥关键作用。除科学领域外，杨辉三角固有的对称性和生成规则还启发了建筑和数字媒体中的艺术可视化和参数化设计。

然而，尽管杨辉三角的二维版本早在11世纪就有记载，但在20世纪之前，很少有学术著作涉及其向高维的推广。随后，关于广义杨辉三角的一些研究开始出现。一些著作甚至提到了"帕斯卡金字塔"的概念，但这些所谓的"帕斯卡金字塔"并不构成对杨辉三角的严格推广。严格的帕斯卡金字塔是一个高维组合结构，它将多项式系数编码为体元素，从而将三角形概念扩展到三维及更高维度。迄今为止，提供杨辉三角严格推广 (即帕斯卡金字塔) 的正式出版物仍然非常有限。涉及高维帕斯卡单纯形推广的学术文献更为稀少。

图1. 论文的图形摘要

• 研究过程与结果

本研究对帕斯卡金字塔及其高维推广——帕斯卡单纯形进行了系统性研究，提供了严格的定义和多个重要性质的证明。

核心定义：帕斯卡金字塔是杨辉三角的三维扩展。用T(n, a, b) 表示帕斯卡金字塔第n层位置 (a, b) 处的元素，其中n≥0是层索引，a、b≥0是层内索引，a+b≤n确保位置在金字塔内有效，c=n-a-b≥0是第三个隐含索引。帕斯卡金字塔中的每个条目表示三项式展开式中的系数，即 (x+y+z)ⁿ展开式中的三项式系数。

递归关系 (经典结果)：帕斯卡金字塔中的值满足递归关系：T(n,a,b)=T(n-1,a-1,b)+T(n-1,a,b-1)+T(n-1,a,b)。本研究提供了该性质的代数证明、组合证明和图论解释三种不同的证明方法，从不同视角阐明了其本质。

对称性质 (经典结果)：三项式系数在其索引的任意排列下保持不变，这直接源于阶乘定义。研究还证明了每层系数之和等于3n，这是多项式定理的直接结果。

图2. 旋转的帕斯卡金字塔

1.原创性贡献

本研究提出了多个新颖的性质和定理：

单位根恒等式：对于原始三次单位根ω，当n>0时，所有三项式系数的加权和为零。这一结果还推广到了同余类的表述形式。

边界性质：帕斯卡金字塔第n层的边界元素 (其中一个索引为0的系数) 恰好构成杨辉三角第n行的元素。研究提供了图论解释：在底层的有向无环图中，边界顶点只有两个父边有效，因此满足与杨辉三角相同的双父递归关系。

缩放性质：对于帕斯卡金字塔第n层的任意对角序列，在其下方存在一整族序列，每个序列都与原对角序列成比例，比例常数仅依赖于层差m和n。

多项式卷积恒等式：证明了三项式系数的卷积性质，这对于理解组合结构的乘积至关重要。

最大系数定理：确定了第n层中的最大三项式系数出现在所有分量尽可能相等的位置。

推广到高维：研究系统地将所有性质推广到d维帕斯卡单纯形 (d≥3)，包括对称性、系数和、单位根恒等式、边界性质、缩放性质、加权和公式、多项式卷积恒等式以及最大系数定理。这些推广为理解多维组合系统提供了完整的理论框架。

研究方法上，本文为关键定理提供了多种证明方法：代数证明 (通过递推关系)、组合证明 (通过计数论证) 和图论证明 (通过路径计数)，从不同侧面揭示了这些性质的本质。

• 研究总结

本研究对帕斯卡金字塔及其高维推广——帕斯卡单纯形进行了全面系统的研究，阐明了它们的结构性质并推导出了多个新颖的数学结果。研究成果加深了我们对多维组合系统的理解，填补了现有文献中的重要空白，因为关于帕斯卡金字塔和帕斯卡单纯形的正式研究仍然相对有限。

本文具有双重目的：一方面，为帕斯卡金字塔和帕斯卡单纯形的性质提供了一个系统的、自成体系的参考文献，配有严格的证明；另一方面，呈现了原创性的结果和新颖的视角。研究清楚地区分了经典结果 (如递归关系、对称性、系数和等于3ⁿ) 和原创性贡献 (如单位根恒等式、边界性质、缩放性质、加权和公式、多项式卷积恒等式和最大系数定理)。

研究还提出了若干值得进一步探索的开放性问题：是否存在帕斯卡金字塔的自然q-模拟，将高斯二项式系数推广到三项式情况？经典的范德蒙德恒等式是否存在三项式系数的自然类比？帕斯卡金字塔中系数的渐近分布如何？是否存在三维或更高维随机游走的中心极限定理类比？除了双曲几何解释之外，还有哪些其他几何解释或推广可能产生有趣的组合结构？多项式系数能否以类似于二项式-伯努利联系的方式在离散概率分布中得到解释？高效计算高维帕斯卡单纯形中特定条目或模式的计算复杂度如何？

总之，本研究为多维帕斯卡数组的丰富结构研究奠定了坚实的理论基础，并为未来的研究指明了方向。我们期待这些成果能够启发更多关于多维组合结构的深入研究。

• 作者简介

姓名：李辉（机构：北京化工大学计算机系；邮箱：ray@mail.buct.edu.cn）

研究方向：离散数学、数论、组合数学、计算机科学、计算机应用、人工智能。

李辉先后毕业于西安交通大学少年班 (本科) 和上海交通大学 (硕士、博士)。2000年参加工作，2002年起至今任北京化工大学计算机系副教授。目前是CCF高级会员，并担任国际期刊 IJGCMS 的主编。

阅读英文原文：https://www.mdpi.com/3667522

• Symmetry 期刊介绍

主编：Sergei D. Odintsov, Institute of Space Sciences (IEEC-CSIC), Spain

荣誉主编：蔡荣根教授，宁波大学；张继平教授，北京大学

期刊主题涵盖了所有科学研究中有关对称/非对称现象的理论和应用研究，主要包括数学、计算机、工程与材料、物理学、生命科学、化学等领域的最新进展。期刊已被 Scopus、SCIE (Web of Science)、CAPlus/SciFinder 等多家知名数据库收录。

2024 Impact Factor：2.2

2024 CiteScore：5.3

Time to First Decision：15.8 Days

Acceptance to Publication：5.9 Days

期刊主页：https://www.mdpi.com/3667522