研究背景

自从四元数概念被提出，四元数及其矩阵的研究不仅深度不断加深，广度也在不断拓展。在理论力学、光学、计算机图形学、飞行力学与航空航天工程、量子物理学以及信号处理等诸多领域内，四元数及其矩阵的应用价值得到了充分的展现，为这些领域的理论进步和技术创新提供了坚实的数学基础。

值得一提的是，交换四元数因其独特的可交换性质，在数字信号处理和图像分析领域内的应用尤为显著。它们不仅能够提高计算效率，还能实现更精细的处理和分析，从而推动了这些领域的技术进步和应用发展。

进一步，广义交换四元数作为对交换四元数概念的拓展和深化，不仅在理论上丰富了四元数代数体系，还在信号处理领域展现出了自身的特色与优势。它们能够更有效地处理复杂信号，提高信号处理的效率，为信号处理技术的发展开辟了新途径。

对偶四元数在运动学综合、机器人技术领域以及众多其他科学分支中也扮演着不可或缺的角色。它们为复杂系统的建模与分析提供了强有力的数学支撑。

众所周知，复矩阵方程具有广泛的应用场景和重要的研究价值，在多个领域都发挥着不可替代的作用，如：控制系统、信号处理、通信系统、图像处理以及量子力学等领域。复矩阵方程的广泛应用和深入研究不仅推动了多个领域的技术进步，也为相关学科的发展提供了重要的理论支撑和实践指导。

上海大学王卿文教授及其团队将矩阵方程的研究已经拓展至对偶四元数以及对偶分裂四元数代数。最近，王卿文教授团队又将上述矩阵方程的研究拓展到了对偶广义交换四元数代数上。通过利用广义交换四元数矩阵的三种实表示，研究了在对偶广义交换四元数代数上的矩阵方程：

AXB=C  (1)

有解的充分必要条件，并在对偶广义交换四元数矩阵方程可解时给出了其通解的解析表达式。

研究过程及结果

文章开篇即对四元数、交换四元数以及广义交换四元数的定义及其不可或缺的重要性进行了系统的回顾，并详尽阐述了矩阵方程当前研究状况。随后，文章介绍了一系列关键概念，包括矩阵的秩、广义逆以及拉直算子等，为读者构建了一个理论基础。

文章提出了对偶广义交换四元数的定义，为相关领域的研究给出了新视角。紧接着，文章介绍了一系列引理，介绍了某些经典矩阵方程的通解表达式以及相关算子的具体运算公式，为后续的定理证明奠定了基础。

文章利用实表示、算子等概念和上述引理，建立了对偶广义交换四元数矩阵方程可解的充分必要条件，并在此基础上导出了通解公式。此外，文章构造了具体数值算例，验证了本文的主要结果。文章最后总结了主要结果，展示了这些结果的应用前景。

研究总结

文章建立了对偶广义交换四元数矩阵方程可解的充分必要条件，并在其可解时给出了通解的表达公式。文章的主要结果不仅丰富了对偶广义交换四元数矩阵方程的研究，还为探索其在相关领域内的潜在应用提供了理论支撑，也为后续的研究工作提供了参考与启示。

原文出自 Symmetry 期刊：https://www.mdpi.com/2995652

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Symmetry 期刊介绍

主编：Sergei D. Odintsov, Institute of Space Sciences (ICE-CSIC), Spain

期刊主题涵盖了所有科学研究中有关对称/非对称现象的理论和应用研究，主要包括数学、计算机、工程材料、物理学、化学、生命科学等领域的最新进展。期刊已被 Scopus、SCIE (Web of Science)、CAPlus/SciFinder 等多家知名数据库收录。

2023 Impact Factor：2.2 

2023 CiteScore：5.4

Time to First Decision：16.8 Days

Acceptance to Publication：4.6 Days