原文出自 Symmetry 期刊

Li, M. PSD and Cross-PSD of Responses of Seven Classes of Fractional Vibrations Driven by fGn, fBm, Fractional OU Process, and von Kármán Process. Symmetry 2024,16, 635.https://www.mdpi.com/2073-8994/16/5/635

1.概念

若振动系统含分数阶惯性力或分数阶阻尼力或分数阶恢复力，则该振动系统为分数阶振动系统。传统惯性力 (或阻尼力或恢复力) 是分数阶惯性力 (或分数阶阻尼力或分数阶恢复力) 的特例，其单位为牛顿；分数阶惯性力、分数阶阻尼力或分数阶恢复力的单位一般不是牛顿。

若振动系统含分数阶惯性力、(传统) 零阻尼力和传统恢复力，则称该系统为第一类分数阶振动系统。若系统含传统惯性力、分数阶阻尼力和传统恢复力，则称该系统为第二类分数阶振动系统。若系统含分数阶惯性力、分数阶阻尼力和传统恢复力，则称该系统为第三类分数阶振动系统。若系统含分数阶惯性力、(传统) 零阻尼力和分数阶恢复力，则称该系统为第四类分数阶振动系统。若系统含传统惯性力、(传统) 零阻尼力和分数阶恢复力，则称该系统为第五类分数阶振动系统。若系统含分数阶惯性力、分数阶阻尼力和分数阶恢复力，则称该系统为第六类分数阶振动系统。若系统含传统惯性力、分数阶阻尼力和分数阶恢复力，则称该系统为第七类分数阶振动系统。七类分数阶振动系统都有整数阶的等价振动模型。

若一分数阶系统的激励为高斯白噪声，则该系统的响应为分数阶随机过程。常见的分数阶过程有分数阶布朗运动和分数阶高斯噪声。

2.研究现状

分数阶振动是结构动力学的热门领域。科研人员一般仅研究第一、二、三类分数阶振动系统，其余四类振动系统的研究成果罕见；通常使用叫做米塔格-累夫勒 (Mittag-Leffler) 函数的特殊函数来处理分数阶振动系统的响应表达式，用初等函数表示响应表达式的结果少见。随机分数阶振动是结构动力学的前沿领域。激励力为分数阶过程的随机分数阶振动的研究罕见。

3.研究结果

浙江大学暨华东师范大学的李明教授在 Symmetry 期刊发表的这篇文章，就四种分数阶过程 (分数阶高斯噪声、分数阶布朗运动、分数阶奥恩斯坦-乌伦贝克 (Fractional Ornstein-Uhlenbeck) 过程，冯卡门 (Von Kármán) 过程) 激励和七类分数阶振动系统，导出了用初等函数表示的功率谱响应和交叉功率谱响应的解析表达式，从而初步建立了随机分数阶振动的基本理论。文章用图示法揭示了分数阶对响应的影响。文章表明，分数阶振动系统的随机响应的统计相关性与激励一致。

4.研究展望

结构的随机分数阶振动的重要应用场合是结构的随机分数阶疲劳。这方面文献罕见，值得关注。

Symmetry 期刊介绍

主编：Sergei D. Odintsov, Institute of Space Sciences (IEEC-CSIC), Spain

期刊主题涵盖了所有科学研究中有关对称/非对称现象的理论和应用研究，主要包括数学、计算机、工程与材料、物理学、生命科学、化学等领域的最新进展。期刊已被 Scopus、SCIE (Web of Science)、CAPlus/SciFinder 等多家知名数据库收录。

2022 Impact Factor：2.7

2023 CiteScore：5.4

Time to First Decision：16.9 Days

Time to Publication：36 Days