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[乱舞沙龙]控制复杂网络：面朝下一站，蜿蜒前行
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越来越懒了，很久没写东西。最近，小帆老师和涛兄在整理一个复杂网络方面的年底评述，主要是对国际上2011-2012年的最新研究进展写点感受，属于轻松明快的小综述性质。应邀，本人滥竽充数，也写了几段话，算是个人的一点体会。
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控制复杂网络：面朝下一站，蜿蜒前行
参考文献
https://blog.sciencenet.cn/blog-349772-633196.html
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控制复杂网络：面朝下一站，蜿蜒前行
由于社会网络的客观存在，人们对网络的研究起始很早。但网络科学这门交叉学科得到蓬勃的发展只是近十几年的事。这些发展的取得，一方面得益于信息和生物技术的长足进步为网络研究提供了大量的实际数据；另一方面得益于人们在各类貌似繁杂无序的网络中发现了小世界、无标度、社团结构等共有的属性。回顾这十几年，人们的主要兴趣和精力大多放在对网络自身的结构和网络上的动力学过程进行建模、分析乃至预测；朝前看，我们将触及复杂网络研究的下一篇章中的核心内容，即，对复杂网络系统进行定性调控乃至精确控制。
在这方面，牵制控制是大家较为熟悉的，其目标在于控制复杂网络到某个同步态。有关牵制控制的研究已经相当可观 （参见[1,2]）。
最近，刘彧等人[3]研究了对复杂网络的完全能控性，即，将网络节点从任意初态控制到任意终态（不必是一致状态或同步态）。他们发现需要直接控制的驱动节点与图论中的最大匹配之间存在着等价关系，并解析得到了泊松和幂率度分布下的随机化网络的能控性（即，完全控制该网络所需的最少的驱动节点的数目）。在此基础上，王文旭等人[4]提出了对网络结构进行微扰以减少所需的驱动节点的数目的方法；奈普斯等人[5]则运用点边互换的思想研究了对网络的边的状态进行控制的问题，其结论如果从网络的点边对偶性的角度来看是很明了的。当谈及控制时，我们除了关心一个网络能否被控制，同时也需要思考这么个无法回避的问题：为了控制一个网络需要付出多大的代价？实际上，在网络节点的整个状态空间中，一些状态容易被控制而另一些则较难。这就好比距离您住处十公里远的圆周上，有些地方可经笔直通畅的大道很便捷地到达，而有些则可能需要在颠簸崎岖的小径上蜿蜒前行。出于这种考虑，严钢等人[6]研究了控制复杂网络所需要付出的能量代价的上界和下界，并指出了控制的难易程度与网络结构的对等性之间的关系。
毋庸讳言，控制理论尤其是线性系统控制是一个历史悠久且较为成熟的领域，这为复杂网络的控制提供了一些基本的思想和方法。然而，当考虑对一个复杂网络系统进行控制时，我们的兴趣主要在于揭示网络结构与控制之间的关系。如前文中提到的完全控制一个网络最少需要直接控制哪些节点，哪些网络需要的驱动节点较少、付出的能量代价较低，如何对网络结构进行微扰从而降低驱动节点的数目等等都属于这个范畴。这些研究中的一些结果可以较为方便地推广到含权、时变、延时的网络上。当然，也得清晰地看到，这仅限于理想的线性情况（包括节点动力学和节点之间的耦合关系）。在这方面，一个很有意义但尚未被解决的问题是：对于一个给定的网络，如何选择驱动节点使得控制的能量代价最低？
稍往远一点看，控制复杂网络的最终目标是对网络上的各类动力学过程进行控制，包括信息或疾病的扩散、耦合个体的集群行为、通信或交通网络的拥塞、网络博弈的策略演化、基因网络对应的细胞分裂[7]等。在处理这些问题时，我们将无可避免地涉及到非线性的情况。而对一般的耦合非线性系统进行完全控制是非常困难甚至是不可能的。为此，大体上有两种思路可供参考。其一是将复杂网络控制到某个有实际意义的状态区域，而不必是整个状态空间[8]。例如，牵制控制是将网络控制到某个同步态，这样处理起来会方便很多。其二是考虑控制网络系统中的某个关键的参量，例如网络扩散的传播阈值、网络集群的耦合阈值等。如果能够在控制论的框架下，通过输入外界的干扰信号使得网络能够容忍的阈值得以提高或者降低，那将是非常有现实意义的工作。
总而言之，尽管通往复杂网络控制的道路蜿蜒盘亘，但从最近发表的相关论文可以看出“控制”正成为重要的关键词、正激起人们极大的研究兴趣和热情。期待诸位，站在建模、分析和预测等前期工作的基石上，迈入“控制”——网络科学研究的下一站的核心领域。
参考文献
[1] 陈关荣，复杂动态网络环境下控制理论遇到的问题与挑战，《自动化学报》，2012，待发表
[2] M. Egerstedt, S. Martini, M. Cao, K. Camlibel and A. Bicchi, Interacting with Networks: How does structure relate to controllability in single-leader, consensus networks? IEEE Contr. Sys. Magaz., 66-73, 2012
[3] Y.-Y. Liu, J.-J. Slotine and A.-L. Barabási, Controllability of complex networks, Nature, 473: 167-173, 2011
[4] W. X. Wang, X. Ni, Y.-C. Lai and C. Grebogi, Optimizing controllability of complex networks by minimum structural perturbations, Phys. Rev. E, 85: 026115, 2012
[5] T. Nepusz and T. Vicsek, Controlling edge dynamics in complex networks, Nature Physics, 8: 568-573, 2012
[6] G. Yan, J. Ren, Y.-C. Lai, C.-H. Lai and B. Li, Controlling complex networks: How much energy is needed? Phys. Rev. Lett., 108: 218703, 2012
[7] I. Rajapakse, M. Groudine and M. Mesbahi, Dynamics and control of state-dependent networks for probing genomic organization, PNAS, 108: 17257-17262, 2011
[8] F.-J. Müller and A. Schuppert, Few inputs can reprogram biological networks, Nature, 478: E4, 2011
【后注】按照要求，文献只限于2011-2012年份，不多于8篇。感谢小帆老师的修改，以及编辑蒋晓女士出于刊物的某些规定而做的删选。刊出版本稍有不同。
[2] M. Egerstedt, S. Martini, M. Cao, K. Camlibel and A. Bicchi, Interacting with Networks: How does structure relate to controllability in single-leader, consensus networks? IEEE Contr. Sys. Magaz., 66-73, 2012
[3] Y.-Y. Liu, J.-J. Slotine and A.-L. Barabási, Controllability of complex networks, Nature, 473: 167-173, 2011
[4] W. X. Wang, X. Ni, Y.-C. Lai and C. Grebogi, Optimizing controllability of complex networks by minimum structural perturbations, Phys. Rev. E, 85: 026115, 2012
[5] T. Nepusz and T. Vicsek, Controlling edge dynamics in complex networks, Nature Physics, 8: 568-573, 2012
[6] G. Yan, J. Ren, Y.-C. Lai, C.-H. Lai and B. Li, Controlling complex networks: How much energy is needed? Phys. Rev. Lett., 108: 218703, 2012
[7] I. Rajapakse, M. Groudine and M. Mesbahi, Dynamics and control of state-dependent networks for probing genomic organization, PNAS, 108: 17257-17262, 2011
[8] F.-J. Müller and A. Schuppert, Few inputs can reprogram biological networks, Nature, 478: E4, 2011
【后注】按照要求，文献只限于2011-2012年份，不多于8篇。感谢小帆老师的修改，以及编辑蒋晓女士出于刊物的某些规定而做的删选。刊出版本稍有不同。
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