余高奇博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/yugaoqi666 经典热力学也称平衡态热力学,研究系统由一个热力学平衡态变化至另一个热力学平衡态的准静态过程的自发性; 它是真实热力学过程发生的必要条件。

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气泡及液滴拉普拉斯方程的推导

已有 936 次阅读 2024-6-9 05:50 |系统分类:教学心得

       本文拟介绍气泡或液滴拉普拉斯方程的推导,供参考.

       拉普拉斯方程是描述弯曲液面曲率半径R、附加压力Δp及表面张力γ之间定量关系的数学表示式,参见如

下式(1)所示:

       image.png           (1)

       式(1)显示:弯曲液面附加压力Δp也是状态函数.

 1. 球形气泡成长过程的拉普拉斯方程

      球形气泡成长过程示意图,参见如下图1所示:

     image.png

                图1. 气泡成长过程示意图

       图1显示球形气泡的始态半径为r,某终态半径为r' .

       依热力学基本方程可得:

       dG=γ·dAs=-SdT+VdpW'               (2)

       式(2)中“As”代表球形气泡的表面积;“STVp”分别代表球形气泡的熵、温度、体积及附加压

;“W'”代表气泡成长过程的有效功.

       对于球形气泡,

       As=4πr2,dAs=8πr·dr                (3)

       V=4/3·πr3                                   (4)

       另气泡成长过程满足:①恒温,或dT=0;②有效功为0,或δW' =0 .

       将式(3)、(4)及恒温、有效功为0条件分别代入式(2),并整理可得:

       image.png                              (5)

       式(5)定积分可得:

       image.png             (6)

      设气泡起始状态为平面液体,即:r1=∞,p1=0.

      将上述条件代入式(6)可得:

      image.png                      (7)

       整理式(7)可得:

         image.png                                     (8)

       式(8)显示,球形气泡(凹液面)半径与曲率半径符号相反;球形气泡半径r越大,曲率半径R越小,附

加压力Δp越大.

 2. 球形液滴分散过程的拉普拉斯方程

     球形液滴分散过程示意图,参见如下图2所示:

     image.png

                图2. 气泡分散过程示意图

       图2显示球形大液滴的始态半径为r',某终态小液滴半径为r.

       依热力学基本方程可得:

       球形大液滴分散过程,通常体积恒定,即:

       V=4/3·π(r')=Const.                                   (9)

     image.png                          

     image.png                                             (10)

       另球形大液滴分散过程满足:①恒温,或dT=0;②有效功为0,或δW' =0 .

       将式(9)、(10)及恒温、有效功为0条件分别代入式(2),并整理可得:

       image.png                                        (11)

       式(11)定积分可得:

       image.png                            (12)

      设气泡起始状态为平面液体,即:r1=∞,p1=0.

      将上述条件代入式(12)可得:

      image.png                                   (13)

       整理式(13)可得:

         image.png                                                (14)

      式(14)显示,球形液滴(凸液面),半径与曲率半径符号相同;球形液滴半径r越小,曲率半径R

小,附加压力Δp越大.

 3. 结论

    ⑴球形气泡规定为凹液面,半径与曲率半径符号相反;球形液滴规定为凸液面,半径与曲率半径符号相同.

    ⑵ 球形液滴半径r越小,曲率半径R亦越小,附加压力Δp越大; 球形气泡半径r越小,曲率半径R越大,附加压

力Δp越小.

    ⑶液滴拉普拉斯方程:image.png;气泡拉普拉斯方程:image.png.



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