本文介绍我们随机矩阵光学研究组近期发表于Applied Physics Letters 120, 043701 (2022)的研究工作。作为我们将随机矩阵理论与相干光学成像结合的第一个理论工作呈现，实现了宽场相干光照明下动态散射随机介质背向散射光强的随机矩阵描述和单次、多次散射成分的统计分离（一阶矩和二阶中心矩）。使用蒙特卡罗模拟和活体实验展示了其在隐藏吸收目标检测和血流成像方面的潜在应用。该研究的创新之处为引入随机矩阵数学工具描述相干波动在动态随机介质中的传输，针对宽场照明构建的统计分离方法可推广到微波、超声等宽场传播的相干域弹性散射成像和检测中。

      我们首先研究宽场照明相干光在动态随机介质中传播路径长度的统计分布（图1）。使用电场蒙特卡洛模拟（EMC）结合米氏散射颗粒布朗运动对光路进行采样，并根据散射次数区分单次和多次散射路径。背向散射光中单次散射路径长度以平均自由程为特征呈指数分布，多次散射路径则形成了典型长尾特征。

      我们进一步研究了背向散射散斑光强中单次散射和多次散射分量的统计特性。图2(c)为瞬时散斑光强，其包含单次散射（图2(a)）和多次散射（图2(b)）分量。散斑图样是动态散射光相位相干性的宏观体现，在光强域体现为时空关联函数上。为从统计上解耦两种分量，我们提出将介观尺度内的动态散斑图样重新排列为时空光强矩阵，具体而言，每张散斑图样排为列向量，不同时刻列向量排列形成时空光强矩阵，如图2(d)和(e)分别代表单次散射和多次散射的时空光强矩阵。单次散射时空光强矩阵呈现典型低秩特性，其强度分布随时间的变化相对稳定，且光强服从指数分布（这与粗糙表面形成的理想散斑模型一致）；多次散射时空光强矩阵表现出复杂时空关联特征，其光强遵循高斯分布（图2(f)）。

      相干光在动态随机介质中多次散射光强的高斯特征提示我们可以使用随机矩阵理论进行描述，并在特征值空间进行统计分离。我们首先利用多次散射时空光强矩阵的协方差矩阵来构建对应的Wishart随机矩阵，其具备典型的GOE特征，特征值概率密度可由Marcenko–Pastur Law描述。而单次散射时空光强矩阵具备典型低秩特性，其对应的Wishart矩阵仅有有限个显著特征值。由于真实记录到的背向散射散斑图样为单次散射和多次散射的总和，其对应的Wishart随机矩阵的特征值概率密度可近似为MP Law的低秩偏离。图3(a)-(c)显示了单次和多次散射在不同混合比例下的特征值概率密度及理论拟合结果，验证了上述理论描述。

      随机矩阵理论为相干光学成像研究提供了丰富的工具和结论，我们结合东北师范大学数学系白志东老师在2008年的结果，进一步提出利用MP Law从混合Wishart随机矩阵的最小特征值估计多次散射分量Wishart随机矩阵的最小特征值。图3(d)显示在较大的混合比例尺度上，上述策略与理论值吻合得相当好。之后结合Loubaton and Vallet在2011年的数学结论，实现了多次散射分量二阶中心矩的估计。进一步使用随机矩阵的迹分析，求解单次散射分量的二阶中心矩。之后利用单次散射光强的指数分布特征，求解其一阶矩。最后总和散斑光强一阶矩与单次散射分量一阶矩之差即为多次散射分量一阶矩。图3(e)-(f)显示了上述统计分离方法的相对误差。

      从数学角度，上述方法实际上是对混合Wishart中低秩成分与MP Law成分的统计分离。当我们仅考虑动态随机介质的散射效应时，对应的是单次散射（低秩成分）和多次散射（MP Law）分量的统计分离。实际应用中，活体组织以及其他不透明介质内部，往往同时存在散射和吸收，而吸收特性的空间分布也呈现低秩特征。此外，荧光和拉曼信号等也可表现为低秩特征。如果这些具有低秩特征的分量存在于组织深层中，受到多次散射光的混扰，宽场相干光照明背向散射光强中将无法直接显示。比如图4(a)为位于深部的低秩吸收体“SJTU”，其记录到的背向散斑图中没有办法显示（图4(b)）。对其进行随机矩阵描述并一阶矩分离后，重建的低秩图（图4(e)）中清晰地揭示了隐藏的“SJTU”物体（当然该图也包含单次散射分量）。这里，基于随机矩阵描述的新方法展现了丰富的临床应用前景，比如体表/乳腺肿瘤探查。同时，未来我们将进一步探索动态荧光检测、拉曼成像增强等应用。

      在相干域光学成像的方法中，使用散斑图的高阶统计量可测量随机介质的动态特性。比如激光散斑衬比成像(LSCI)利用一阶和二阶中心矩来检测散射体（比如血液中的红细胞）的有序运动，目前已广泛应用于活体宽场血流成像中。我们在论文中将随机矩阵方法应用到大鼠脑皮层血流的LSCI成像中，获得了单次散射衬比图像（浅层）和多次散射衬比图像（深部）（请下载论文查阅图片）。与传统时间散斑衬比图像相对比，首先是将浅层和深部的血管血流进行了分离（向着三维迈进了一步）。其次在单次散射衬比图像获得了更清晰的浅表血管血流信息；在多次散射衬比图像中，深层血管结构更加清晰，并可以有效抑制镜面反射的影响。在复杂临床场景中，比如手术显微镜和内窥镜，随机矩阵统计分离的方法展示了强大的应用潜力。

备注：由于图片格式压缩，请大家下载原文查阅（该论文为开放获取）。 https://doi.org/10.1063/5.0078989

本文转载自我们的随机矩阵与介观光学公众号，欢迎大家关注我们，也欢迎更多的同行和老师参与到这一新的研究方向中。