当前形式的量子理论的表述和解释建立在惯性系的概念基础上，当前形式的量子态演化的Schrödinger方程只在使用牛顿时间的惯性系中才成立的，而相对论被发明出来的一个重要动机就是要剥夺惯性系概念在物理学中的特殊地位，将物理理论（当然也应当包括量子理论）建立在对一般坐标系都成立的概念基础上。

虽然一开始量子理论就被尝试表述在对任何 Lorentz惯性系都成立的形式上，但是早期的尝试并不成功，使得 Schrödinger回到了牛顿的惯性系中来写他的波动方程，反而取得了成功。后来才知道要将波动方程表述在对一般 Lorentz 参考系都正确，需要正确的处理粒子的自旋的问题。于是Klein-Gordon方程在描述氢原子上的失败，以及Dirac方程的成功就变得部分的可以理解了。但这些早期将量子理论描述建立在一般Lorentz惯性系上的尝试，并没有如此简单。后来人们就意识到这些相对论性的波动方程，虽然在任何Lorentz系中都是成立的，但是却会遇到负概率或者负能量的问题，这是Lorentz时空度规允许负定必然带来的问题。但是很快就证明，只需要对理论的数学结果做适当的重新解释，这就不再是理论的困难，而是理论的正确预言，即预言反粒子的存在。这种重新解释要求我们对物理学的基本描述需要建立在“场论”而非“力学”的基础上，前者以时空中连续的“场量”作为基本的动力学变量，而后者以坐标和动量等“力学量”作为基本的动力学变量。Klein-Gordon方程描写的不是量子态，而是一种自旋为 0 的标量场的经典场方程。Dirac 方程描写的也不是量子态，而是自旋为 1/2 的旋量场的经典场方程。这些经典场方程，它们需要被再次量子化的处理。相对论性时空的负定度规产生的量子负模态很大程度不是被消除了，而是被重新解释了。负模态在相对论量子场论中是必然的结果，而且还很可能对一些重要的物理效应起到关键的作用。但是将量子理论表述到更一般的坐标中去的努力还没有停止，Lorentz坐标系只是一类惯性系，将量子场论应用到一般固定弯曲时空背景上去导致了弯曲时空中的量子场论。这样的理论取得了一定的成功，被成功的应用在了比如研究宇宙极早期暴涨和原初涨落，黑洞物理等半经典的考虑弯曲时空情况下。但很快发现这样的理论也有一些基础性的困难，比如人们很快发现这样的理论是非幺正的，粒子数不再守恒，不同基态之间并没有幺正等价性，换言之，做一个坐标变换变到加速系，信息和幺正性都会丢失。目前看来，这是弯曲时空背景上的量子场论必然导致的后果。先不谈我们能否将量子理论应用到更一般的动力学的时空背景中去的所谓最终的量子引力理论，在固定弯曲时空上表述的量子理论似乎就已经体现出了与广义相对性原理相互冲突的地方，即如果这种一般坐标变换下的非幺正性如果是真实的，那么我们将有可能通过量子物理的实验来区分惯性系和加速系，这似乎违反了一般（广义）坐标相对性原理。

不仅量子理论要表述在一般时空坐标系上有困难，如果要将量子原理应用到一般动力学的（赝）黎曼坐标系，遇到了更大的概念和技术上的困难。在早期的正则量子化一般时空的尝试中，人们发现对广义相对论这种与坐标系时间选择无关的理论来说，时空或者引力的哈密顿量总是等于 0，换言之，根本就不存在一个引力或时空的Schrödinger演化方程，这称为时间问题（problem of time）。取而代之的是一个根本没有时间演化的Wheeler-DeWitt约束，这是一般协变理论量子化中普遍存在的概念问题。产生这个问题的原因很简单，因为广义相对论本身是时空坐标无关的，它根本没有量子力学需要的一个被外部测量的绝对时间。技术上，由于 Wheeler-DeWitt约束作为基本动力学变量的的非多项式形式，也给求解这个约束造成了很大的技术困难。就算有办法求出解，比如通过Ashtekar变量重新表述后的哈密顿约束，这种“冻结”的正则量子态波函数被发现与一些扭结拓扑不变量有联系，但其物理含义仍然是不甚清楚的。

除了正则量子化的办法，在协变量子化的早期尝试中，人们也发现经典广义相对论是不可重整的。时空的量子修正无法被吸收到原有的 Einstein-Hilbert 作用量的系数中，如果你要将这些发散的量子修正采用通常的重整化方法来消除，那么就需要在原有作用量中不断引入新的项和新的系数。而如果你继续计算新的项和新的系数的量子修正，你还要不断的引入更多的新的项和系数来消除之前计算的发散。这个过程看起来将永无止境的进行下去，使得人们意识到如果要获得一个可重整的量子时空和引力理论你需要无限多的输入参数和无限多个抵消项，人们不知道这个理论是否存在一个裸的紫外不动点，使得理论在量子层面所有能标下在数学上都是良好定义的，而不会出现数学奇异性，称为紫外完备性。不可重整性可能也是最臭名昭著的一个困难，但其实从紫外完备性的意义上严格说来，量子理论和大多数场论都无法兼容，包括量子电动力学也有所谓“朗道极点”问题，终结了通常的微扰论重整化计算，只有渐近自由的量子色动力学才在紫外能严格的良好定义（但也只能在紫外定义，其红外的行为目前仍然难以理解）。

在路径积分量子化中，出于通常量子场论路径积分量子化同样的考虑，即实作用量比虚作用量更好的积分可控性和收敛性，通常在欧氏符号的时间而不是赝黎曼符号中做路径积分，但遗憾的是，这样的对引力动力学变量即度规的积分测度在数学上就不是良好定义的，而且人们发现这样欧氏符号下的 Einstein-Hilbert 作用量是无下界（unbouded from below）的，使得这样定义的路径积分不可能收敛。这个发散性独立于前面提到的紫外发散问题，也是量子化方法应用于引力系统的基本困难之一。

值得指出的是，广义相对论这个与坐标系无关的（赝）黎曼几何描写了真实的时空本身（即时空的几何化）还依赖另一条额外的基本假设：等效原理。等效原理是时空和引力可以被普适的几何化的基础（而不简单只是一种通常的“力”），因此目前主流的几何化的量子引力候选者们也建立在假设等效原理在量子层面的有效性的基础上，但在标准 Schrödinger 方程的处理中，粒子自由下落过程的粒子质量依赖性是和经典等效原理所声称的自由下落的质量无关性严重冲突的。这可以被如下简单的论证概括：即粒子在下落过程中，动能和重力势能分别和惯性质量引力质量成正比的，由于惯性质量等于引力质量的事实，这带来了经典意义上自由下落速度和加速度的质量无关性。但在 Schrödinger 方程所讨论的量子层面，测不准原理是粒子的位置和（质量依赖的）动量之间的测不准，粒子波函数的频移直接和粒子的能量联系的，因此波函数的下落速度、频移和演化振幅等一般都是粒子质量依赖的。换言之，Schrödinger 方程将波的自由下落看作是在一个固定的时空背景上由（质量依赖的）哈密顿能量驱动的动力学演化，而在广义相对论和等效原理中，波的自由下落则被等价的看作是波不运动，而装载着波的普适的抽象容器（时空背景）在普适的变化。这两种对波自由下落的不同的观点，造成了量子物理和等效原理之间的另外的基本矛盾。在我们看来，如果等效原理在量子层面是违反的，即不同质量的尺子或时钟不再能度量到一个普适的时空，这将是物理学基础的灾难（当然也可能是开辟全新物理学基础的机会）。从本文的观点来看，采用外部绝对牛顿时间的 Schrödinger 方程应用到非惯性系的一般坐标系中去的严格有效性本身就是值得怀疑的。一个量子版本的等效原理作为量子引力和量子时空能几何化的基础，我们将在（后面章节）中讨论。

综上所述，量子理论不仅排斥等效原理和引力几何化，而且量子理论在表述到一般时空坐标系的问题上，在数学无奇异性的应用到处理时空引力量子自由度的涨落的问题上，都和广义相对论有诸多冲突和困难。要找到一个理论同时满足（1）量子力学原理、（2）一般(广义)坐标相对性原理和（3）等效原理，至少其一需要做适当的修正或者扩展的。我们目前的物理理论如何建立在一个统一的概念基础之上，是摆在当代物理学家们面前，至少要花一些时间去思考的问题。

假如等效原理的有效性可以推广到量子层面，那么我们依然可以将量子引力现象建立在几何基础之上。我们看到几何学从整体笛卡尔坐标系的解析几何方法，到 Gauss 认识到从二维曲面上的局部坐标系去度量就足以给出二维曲面的曲率，而不需要将二维曲面嵌入到三维空间中去，再到 Riemann 一般性的发展了通过几何的局部二次型距离来推广高斯关于内部度量几何的想法。从 Gauss 开始，到 Riemann 开创了与坐标系无关的内蕴几何的方法，这种坐标无关的精神或者纲领在 Einstein 的经典广义相对论中达到了物理上的高峰，对经典物理学带来历史性的综合。但这种内蕴几何的精神，并没有能贯彻到量子理论中，相对于内蕴几何和广义相对论的精神来说，目前量子理论的框架仍然需要并且依赖于外部绝对惯性坐标系的描写，它仍然是一个需要借助嵌入到外部坐标系来描写的“外蕴”的理论。从这点来看当前的量子理论还是一个建立在笛卡尔坐标系基础上的“牛顿力学”。这也是量子理论框架和广义相对性原理框架存在冲突的重要原因。二者需要建立在一个统一的概念基础之上。也正是由于传统的量子理论需要将世界如此的划分成了一个被观察的量子系统和一个外部绝对的经典仪器或经典“观察者”两部分，使得人们对这个理论进行解释的时候，需要引入一些目前仍存在诸多争议的假设才能自圆其说，比如根据标准的哥本哈根的解释，一个空间尺度很大的广延的量子波函数，在空间远距离的两个坐标点上，不得不“超光速”的瞬间整体塌缩（即所谓的 EPR 佯谬）等等。Einstein 以这样的佯谬来表达他所感受到的量子理论和相对论之间的内在不相容。目前的技术手段已经使得人们可以做这种几公里甚至上百公里的长距离的量子力学实验了（比如纠缠光子在远距离的分发和测量实验），纠缠光子对的关联测量结果虽然非常符合量子力学的预测，但这不是量子力学数学形式的预测的问题，而是对数学形式的物理解释的问题，是空间一端的观察者如何局部的制备实验仪器来测量这个局部的量子态，相对于空间另一端的量子态的“相对关系”（而不是两个各自量子态本身）应该如何恰当的解释的问题。目前人们尚没有更好的对当前量子力学的数学形式的解释，来给出一个自洽统一的方式来理解这些内在的矛盾，哥本哈根解释仍然是当前量子理论数学形式的最接近“实验室常识”和最方便的解释，使得这个解释被实验室尺度的物理学家们广泛接受了，虽然我们知道一旦一些解释（通过思想实验）被推向一些极端情况就可能导致一些内在问题。量子理论无论当前的数学形式还是其解释当然还有很大的改进空间，特别是需要发展成一个描写量子态之间“相互关系”的理论，比如被测量量子态和测量仪器的量子态之间相互关系的理论（这正是本文关于量子参考系的基本想法），而不再是描写单个量子态相对外部经典仪器的理论，来使其更合理和自圆其说，来纳入到一个坐标无关的相对性的纲领中。

科学界作为一个坚固而保守的体系，通常不会很轻易的愿意去发明或接受一个新的图像和框架，除非旧的框架遇到了严重的和根本无法调解的危机，因此我们也要问，过去的量子理论和引力理论是不是真的遇到了严重的危机呢？的确，在实验和观测方面来看，量子理论在实验室尺度和广义相对论在天体尺度都在各自的领域里非常精确的对实验和观测做出预测，除了宇观尺度的“暗能量”，以及星系星系团和大尺度的“暗物质”问题。如果说暗物质问题尚可以通过在标准模型中引入额外的物质假设来解决的话（虽然这一假说随着半个多世纪的时间推移也在逐渐的面临另一种危机：到目前我们仍然没有探测到任何形式的暗物质），目前我们对一个性质上非常接近宇宙常数的暗能量，却触碰到了如何将量子涨落自洽的考虑到引力理论中去的基本困难，真空量子涨落本质上会导致引力系统的不稳定，即宇宙常数的精细调节问题，并不是在目前标准理论中简单引入新的常数或新的能量形式就足够的，在我们看来，这是一种真正意义上当前观测和基本理论之间的危机，要求我们去弄清在量子理论和引力理论共存时究竟将会发生什么，并去修正我们对引力从星系到宇观大尺度的理解，这我们在后文中也将仔细的讨论。

我们也或多或少的面临 19 世纪末 20 世纪初相对论诞生前遇到处境，当时的困惑是，是否能通过电磁学或者光学实验来区分我们是否处于一个绝对运动的参考系中？类似问题的当代版本是，我们是否能通过量子实验来区分我们是否处在一个惯性系或者加速系或者更一般的坐标系中？及其一系列量子理论和一般相对性原理的矛盾所衍生的困难。我们看到 Einstein 为了保持相对性原理，即电磁学实验也无法让我们知道我们是否处于绝对运动之中，需要改动时间的概念，导致传统的欧几里德空间不再能够严格做到了。进而在广义相对论中， Einstein继续指出，我们甚至无法通过经典物理实验来区分惯性系和加速系，经典物理学被表述成对一般（非惯性）坐标系中都成立，和坐标系的选择是无关的，这不仅没有产生根本性的矛盾，还导致了一个新的现象自动出现了，即一个正确的经典引力被自动的包含进入了这样一个以（赝）黎曼几何为基础的理论中，而不再需要一个额外的引力形式的假设了（如同牛顿引入平方反比定律所做的那样），这实现了经典物理学历史性的综合。引力现象本身和一般坐标相对性原理是紧密联系的。如果一般（广义）坐标的相对性原理的精神要继续保持，（这里的“一般”在本文中不仅指一般的经典弯曲坐标系，还试图将其推广到一般带有量子涨落的量子坐标系），即我们还是无法通过任何量子的实验来区分惯性系和加速系甚至一般（非惯性）坐标系，广义上的量子理论对惯性系和加速度甚至一般坐标系同样适用，那么目前的经典等效原理在一些量子层面上要做一定的扩充来保证，我们将看到这不仅也没有产生根本性的矛盾（比如前面提到的不同坐标系之间的幺正不等价性），而且一些新的现象也将自动出现，即一个满足一般量子原理的引力理论，以及时空坐标系本身量子涨落产生的（非幺正的）热力学效应，被自动包含进入这样一个量子的时空几何中。

本文可以看作是在量子等效原理（量子引力几何化）的基础上，将 Gauss-Riemann-Einstein 的坐标无关或内蕴几何的纲领自洽的贯彻到量子层面的一种努力和尝试。将这个新的时空几何和引力理论应用到一些可能的领域，以达成对当前物理学一些困难的理解，是本文另外一方面的尝试。

本文是《一个量子参考系的理论及其蕴含的引力理论》(chinaxiv:202404.00156)的引言部分做了一些改动。