量子力学与经典力学有不同的“三阶段论”。在经典力学里，第二阶段讨论粒子的运动，而在量子力学里，第二阶段讨论波函数的演化。粒子运动与波函数演化所遵循的规则不一样。本文探讨一个简单的逻辑命题，目的是说明，在经典力学看起来合乎逻辑的推测，如果用在量子力学的第二阶段里，就可能导致荒谬的结果。

先讨论日常生活中的一个例子。公寓的管理处有许多电源开关，控制着每个房间。假定某个房间里的电器出了故障，电工在修理之前，可以逐一切断各个开关，从而确定哪个开关控制该房间。如果断开某一个开关而其他开关都接通的时候，发现该房间停电，那么电工就可以确认到达该房间的电流一定经过这个开关。根据这种日常生活经验，人们通常会接受下面的逻辑：

已知粒子通往检测器有两个或两个以上的路径可以选择，而且当这些路径都畅通无阻时，检测器可以接收到这个粒子。如果发现只要堵塞其中某一路径之后检测器就再也接收不到粒子了，那么该路径畅通时检测器接收到的粒子实际上就是沿着该路径运动到检测器。（经典直观逻辑的命题）

这个逻辑命题在经典力学中完全正确，然而在量子力学中却不一定正确，因为经典粒子只可以沿一条路径运动，但是波函数却可能同时沿两条路径运动。                                              

图1. “黑盒子”实验示意图

为了证明上述经典直观逻辑不能用于量子力学第二阶段，可以考虑图1的“黑盒子”实验。一束光从半反射镜A的左下方射入，在A1和A2两条路径就会各有一束光射进黑盒子。从黑盒子射出的两束光将分别到达检测器5和6。假定实验者对黑盒子内部的构造一无所知，仅仅在这个黑盒子实验中观察到以下三组现象：

(1)   在A1和A2两条路径都通畅的条件下，两个检测器5和6分别接收到50%数目的光子。

(2)   如果把途径A2堵塞，可以发现只有检测器5接收到光子，检测器6就接收不到光子了。

(3)   如果把途径A1堵塞，可以发现只有检测器6接收到光子，检测器5就接收不到光子了。

按照经典直观逻辑，从这些现象应当可以得出结论，到达检测器5的光子都来自路径A1，而到达检测器6的光子都来自路径A2。

但是，在呈现上述三个现象的“黑盒子”里面，实验装置可以有复杂的结构。例如，可以按照安鲁（Unruh ）提出的一个思想实验[1]，在黑盒子里面安装两个“串联”的马赫-曾德尔干涉仪，如图2所示。黑盒子里发生的过程应当用波函数来描述。容易验证，上述三组现象都可能在这个装置里发生。

图2. 路径A1和A2都畅通时检测器5和6都接收到50%数目的光子

首先，这个实验装置显现的行为符合上述黑盒子的现象（1）。波函数从半反射镜A的左下方射入，在A1和A2射出的两束波函数将分别被两个反射镜反射，然后汇聚在半反射镜B。由于两束波函数干涉，就没有波函数到达反射镜4，全部波函数经由路径B3射向反射镜3。波函数在到达半反射镜C的时候，又被分成两束，分别到达检测器5和6。所以，在A1和A2两条路径都通畅的条件下，两个检测器5和6分别接收到50%数目的光子。

图3. 堵塞路径A2之后，只有检测器5接收到光子

其次，这个实验装置显现的行为也符合上述黑盒子的现象（2）。如果把半反射镜A通往反射镜2的途径堵塞（见图3），波函数就只有A1这条路径可走，它到达半反射镜B之后，就会分裂成两束，分别被反射镜3和4反射，然后再汇聚在半反射镜C并且发生干涉，因此就只有检测器5接收到光子，检测器6就接收不到光子了。

图4. 堵塞路径A1后，只有检测器6接收到光子

最后，这个实验装置显现的行为同样也符合上述黑盒子的现象（3）。如果把半反射镜A通往反射镜1的途径A1堵塞（见图4），波函数就只有A2这条路径可走。结果只有检测器6接收到光子，检测器5就接收不到光子了。

经典直观逻辑的命题适用于这个实验装置吗？答案显然是否定的。在A1和A2两条路径都畅通的时候（图2），两支波函数先“糅合”在一起，经过单一路径B3，然后再分开，分别到达检测器5或6。无论是检测器5还是检测器6，它们接收到的波函数都通过单一路径B3。到达检测器5或6的每个光子都仅仅“知道”自己曾经走过路径B3，已经“忘记”自己来自路径A1还是A2。因此，不能认为“到达检测器5的光子都来自路径A1，而到达检测器6的光子都来自路径A2”。

阿夫沙尔（Afshar）于2004年曾经宣布[2]，在观察到双缝干涉条纹的同时，可以确认粒子穿过了哪一条缝隙。这个结果违背哥本哈根诠释，阿夫沙尔称之为“波粒二象性中的悖论”。阿夫沙尔于是宣称玻尔的哥本哈根诠释不正确，而自己的新诠释（The Transactional Interpretation）可以摈除这个悖论。这一“发现”曾经引起许多讨论，可能也被科学网上一些老师所关注。后来安鲁批评阿夫沙尔观点的时候，把他的实验“简化”为另一个等价的版本，即本文介绍的安鲁实验。阿夫沙尔失足之处，就在于不适当地运用了经典直观逻辑，导致荒谬的结果。

不难看出，经典直观逻辑之所以不能应用在量子力学的第二阶段，就是因为波函数的演化依赖于整个实验装置的全局。阻挡一条被允许的路径，不仅在这条路径上的波函数可能发生变化，实际上波函数的全部传播过程可能完全改变。所以，量子力学不遵守经典直观逻辑，而是遵循另一种逻辑：

已知粒子通往检测器有两个或两个以上的路径可以选择，而且当这些路径都畅通无阻时检测器可以接收到这个粒子。即使堵塞其中某一路径之后检测器就再也接收不到粒子了，仍然不能断定该路径畅通时检测器接收到的粒子必然沿着那该路径运动到达检测器。（量子力学的命题）

以上讨论虽然是以光子为例进行的，但是也应当适用于电子或其他微观粒子。量子力学中讨论光子行为时，常常（並非总是）是把光子作为一般的微观粒子来看待的，认为光子具有的波动性其他微观粒子也会有。在量子力学中，虽然光子的徳布罗意波的波长不同于其他微观粒子，但是它们在第二阶段都是用波函数来描述的。就像双缝干涉实验，最早观察到光穿过双缝会发生干涉。后来，实验设备做了相应的改进，就观察到电子、中子以及C₆₀分子穿过双缝也会发生干涉。基于同样的考虑，上述光子实验也可以发展出电子实验的版本，观察到电子或其他微观粒子违背经典直观逻辑的现象，只是实验的设备将会更加复杂。

回想在米勒和惠勒的描述中，量子力学的三个阶段分别被比喻为龙头、龙的身体和龙尾。米勒和惠勒说过一段发人深省的话[3]：

不过，在中间时段关于龙做什么或者龙长什么样子，无论在这个还是在任何延迟选择的实验中我们都没有发言权。我们看到一个计数器的读数，但我们既不知道，也没有权利说它是怎么来的。基本的量子现象是这个奇怪世界中最奇怪的事情。

米勒和惠勒说得完全正确，在第二阶段粒子如何运动，“我们都没有发言权”。米勒和惠勒所描绘的“奇怪世界中最奇怪的事情”，正是在学习量子力学的时候几乎每个人都会提出的困惑之处。经典粒子所遵从的逻辑，量子力学的波函数不见得遵守。试图在量子力学第二阶段里发现粒子如何运动，这种努力常常导致荒谬的结论。

[1] Unruh W, Shahriar Afshar–quantum rebel? http://www.theory.physics.ubc.ca/rebel.html 2004.

[2] S. Afshar, Paradox in Wave-Particle Duality, https://core.ac.uk/download/pdf/44169948.pdf

[3]  Miller W A,  Wheeler J A, Delayed-choice experiments and Bohr's elementary quantum phenomenon, //Proceedings of International Symposium of foundations of Quantum Mechanics in the light of New Technology: Physical Society of Japan, Tokyo, 1983.