能量守恒定律和不确定度关系在量子力学中占有重要地位。能量守恒定律规定了系统的总能量守恒，它的值就是完全确定的，但是能量-时间不确定度关系又说能量是不确定的，两者不是互相矛盾吗？这的确是一个很基本的问题，不仅是能量守恒定律，而且动量守恒定律和角动量守恒定律也会受到同样的质疑。

经典力学里，在测量之前，能量、动量及角动量都已经被确定，测量只是把它们的值“发现出来”而已，每次测量结果都必然满足能量守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律。至于量子力学中，测量之前它们的值未必已经确定，如果波函数是几个本征态的叠加态，测量结果就会从它们相应的几个本征值里随机地选取一个。从理论上已经可以严格证明，系统中全部粒子总能量的平均值是守恒的。但是平均值只有在多次测量之后才能得到，每次测量结果必然是在平均值上下浮动的，因此每次验证量子力学中的能量守恒律只能够达到“不确定度关系”所规定的精确度。对于动量守恒定律和角动量守恒定律，我们可以有完全类似的结论。

例1，能量守恒定律。在势阱中的一个粒子，测量前处于若干能量本征态（例如基态、第一激发态和第二激发态这三个本征态）的叠加态，量子力学可以预言能量的平均值。测量粒子的能量可能得到不同的结果，可以是基态能量，也可以是第一激发态能量，或者第二激发态能量。这些不同的结果都不是能量的平均值，但是它们都在能量的平均值上下浮动，其浮动范围则局限于“能量-时间不确定关系”所规定的精确度之内。如果对于这样的一个系综的每个系统测量，从多次测量的结果可以得到能量的平均值，它是满足能量守恒定律的。

例2，动量守恒定律。继续考虑势阱的例子，假定在测量它的能量之后，发现它处于基态。基态不是动量算符的本征态，对许多这样的系统测量动量，将会得到不同的数值，因此每次测量动量不是严格守恒的，测量结果将会在平均值上下浮动。如果测量足够多的系统，测量得到的动量平均值满足动量守恒定律。可见，在这个处于基态的系统中，动量守恒定律只在坐标-动量不确定度关系的精确度范围之内成立。

例3，角动量守恒定律。考虑在EPR实验中测量电子自旋。在纠缠态电子对产生的时候，两个电子之间的关联就受到总角动量守恒定律的约束。沿某一方向（垂直于传播方向）测量第一个电子的自旋，都会使得另一个电子的自旋同时改变，其结果一定是满足角动量守恒定律的本征态。这是对纠缠态的第一次测量。这一次测量之后，两个电子就不再处于纠缠态。如果又测量了第二个电子沿另一方向的自旋，那么该电子自旋改变了，但是第一个电子的自旋不变。所以测量的结果仅仅在“广义的不确定度关系”的范围内满足守恒定律。当然，对于一个系综里多个系统测量的平均值满足守恒定律[1]。

朗道在解释能量-时间不确定度关系时说[2]：“通过两次测量来验证量子力学中的能量守恒律只有ħ/Δt数量级的精确度，其中的Δt为两次测量之间的时间间隔。”这就是说，量子力学中实验验证能量守恒定律，其精确度受到海森伯不确定度关系的限制。

在1923年，康普顿效应刚刚被发现的时候，实验还比较粗糙，无法观察单个光子与电子的相互作用，因此测量结果只在平均意义上证实了能量动量守恒定律。当时玻尔试图用类似经典的理论解释光被电子散射，没有把康普顿效应看作“光子和电子的碰撞”，认为能量动量守恒定律只在统计平均意义上成立，在单一的过程中则可以违背[3]。玻尔解释康普顿效应的时候没有用到“不确定度关系”。不久以后的实验揭示了单个电子的反冲动能与散射光的角度之间的定量关联，玻尔在1925年放弃了自己的观点。

结论是，在量子力学实验中验证守恒定律，只能在不确定度关系的精确度之内实现。尽管单次测量的结果可能违背守恒定律，但是对大量系统测量结果的统计平均，总是满足守恒定律的。量子力学没有否定守恒定律，但是界定了验证守恒定律可以达到的精确度。

[1] 丁鄂江，量子力学的奥秘和困惑，北京：科学出版社，2019。

[2] 朗道，栗弗席茨，量子力学-非相对论理论，北京：人民教育出版社，1980。

[3]  Bohr, N., Kramers, H. A. and Slater, J. C.(1924) “LXXVI. The quantum theory of radiation”, Philosophical Magazine Series 6,47: 281, 785 — 802.