浅说合作的代价

许秋雨，2026.10.15

当人们带着重量，合作就有代价，除非为同一个目标专门投其所好，它是走进现实世界后的合作：

1+1= 2

这是物理层合作，需负重前行。

对人们不带重量的合作，合作不会有代价，当然也就不能专注于某目标，这可以在虚拟世界发生：

1+1=0

这是网络层合作（Network Coding)，也包括  Physical-layer Network Coding（PNC）。PNC是自己定义能量不变映射，可以说是介于网络层与物理层之间。

在虚拟世界里，你可以任意定义运算，只需保证后面能解回来即可。如二进制运算，有限域运算，甚至 Wang代数运算，或者你定义某个专门的映射（如PNC）。这些运算的一个共同点就是运算前后能量不会变化，因为这些元素在有限域上根本就不带重量，从而他们的合作没有代价，1+1=0，0 和 1 完全等重或者叫等价，即保待能量不变。

在现实世界里，即当信号发射后，各自信号（人们）就有了重量（如能量），他们的运算也就有了重量的变化，从而他们的合作就有代价了，1+1= 2，能量就增加了3 个分贝。

我觉得，不带重量的运算正是Network Coding的好处所在。除非你要刻意针对某些物理信道，这时人们可以用自己的重量合作性地去匹配信道，其实这才叫真正的物理层协同通信，cooperative communications。关于它们间的初步比较可参见下图。我们20年前在这个方向做了一些劳动。我们提出一个新的数学概念，叫移位满秩矩阵, shift full rank (SFR) matrices并且刻画了它们 【1, 2】。利用SFR 矩阵编码可以达到异步合作满分集（asynchronous full cooperative diversity）。感兴趣的朋友可以搜索shift full rank (SFR) matrices。巧的是它的最紧致形式，见下图2 (【2】)，与最早Arikan的Polar码一样。

【1】Y. Li and X.-G. Xia, “A family of distributed space–time trellis codes
with asynchronous cooperative diversity,” in Proc. 4th Int. Conf. Inf.
Proc. Sensor Netw. (IPSN’05), Los Angeles, CA, Apr. 25–27, 2005. Its long version is in IEEE Transactions on Communications, vol. 55, no. 4, pp. 790-800, April 2007.

【2】Y. Shang and X. -G. Xia, "Shift-full-rank matrices and applications in space-time trellis codes for relay networks with asynchronous cooperative diversity,"  IEEE Transactions on Information Theory, vol. 52, no. 7, pp. 3153-3167, July 2006

图1

图2

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