我在特拉华大学教职生涯的前五年

夏香根，美国特拉华大学，2025.10.4

今年是我在特拉华大学工作的第30个年头，回首过往，感言颇多。下面我先感想一下我入职特拉华大学后的前5年的科研。

我1983年从南京师范学院（1984年改为南京师范大学）数学系毕业考入南开大学数学系硕士研究生，1986年南开大学数学系硕士毕业留校任教，1988年到美国辛辛那提大学数学系读博，1990年转入美国南加州大学电子工程系读博。在读博时我的梦想就是能在美国的研究型大学做教授。可是在我1992年博士毕业时，美国大学教职空职很少，在经过后面差不多三年的博后和工业界工作的努力，终于在1995年底拿到了特拉华大学电子工程系tenure track (TT) assistant professor 教职 （最初级的大学正规TT教授职位）的offer。 我记得是1995年12月24日收到的offer 信（我刚从南京参加完何振亚先生的一个国际信号处理会议后回家），要求1996年1月2日前回复，我没有时间考虑，也没多想，直接就接受了。

我记得当时我已有47篇已经发表和已经接受的期刊论文（到1995年我已经有差不多10年的发表论文史了，这里也不是有意数论文，那时的期刊还是很正规的，我觉得我的每篇论文都有不同的新意，也正是因为有了这些铺垫才有了我以后的这5年），做的报告是关于filterbank 预编码的码间干扰信道的一些最新成果（1995年）。1995年尽管工业界的通信行业已经火热，但大学的学术界还没有什么空位（从职业情况看学术界都会迟后于工业界），IEEE Spectrum上的空位广告很少，特拉华大学是很少的屈指可数的几个之一。到了1996年，大学教职的广告就一下多了很多，点COM 热正式登场，找学术界的教职一下容易了很多。

我1996年秋季入职特拉华大学后，一如既往地每周工作6天（周日到周五），每天工作至少12个小时。也不是因为有什么压力，就是对科研有兴趣，对做出新成果有兴趣，更是有做不完的科研问题。 讲实话我从来没有对能不能拿到Tenure担心过，这也许是因为我运气好，入职大学的第一年就拿到funding 的原因吧。 在大学不像在工业界，我的自由度很大，平时没啥浪费时间的各种会议，学校也挺照顾年轻老师的，没让做很多杂事。我每天就家和学校办公室两点一线，全心全意。我从来没有要求过学生每天要工作多久，或者一定要来办公室什么的。一定要知道，我们这方向的科研是脑力劳动，靠逼是逼不出来的。但那些年每个学期我都会用电邮的方式告诉他们我上面提到的我自己的工作时间。

下面所列的书和所有论文都是我入职特拉华大学后自己亲自推公式，自己做仿真，自己书写而成的，并且都是在前5年内发表出来的期刊论文和书，不包含任何非我第一作者的论文（比如学生做的）。我以前曾经讲过，有两种新的科研成果。一种是要读很多的书和论文直到学科的最前沿才能开始动手做，如不读这么多书或论文，很多记号你都不会认识，都不会知道别人在讲啥。这在数理学科很常见，如微分几何，代数几何，代数拓扑等等。另一种是在大家都非常熟知的内容上做出真正的新意和创新，这在工程学科可能会见到。我也曾经讲过我认为我自己至少有4个后一种的结果，都是在我入职特拉华大学后才开始自已做的，且都在前5年内的期刊发表出来的。

第一个是新波型 【3】（叫Xia pulses/filters），它满足匹配不匹配都是Nyquist的性质。大家熟知的大学课本里都有的raised cosine pulse （开根号后）只是在匹配后才是Nyquist。这两种波形紧密相联。

第二个是Vector OFDM  (VOFDM)【21】。大家都知道，OFDM开起于上个世纪60年代（其实正如我以前提到的，就OFDM的数学公式形式，1946年Gabor的论文里就有踪迹可寻），现在已无处不在，所有的WiFi 和手机通信都用它。 而VOFDM正是OFDM对码间干扰信道的非简单的最一般的推广，跨越了单载波和多载波，时域和频域的各种可能性，看对解调复杂度的不同要求而定。在VOFDM 2000年ICC会议论文集出版的首次出现的17年后，又出现了OTFS，它的发端与VOFDM完全一致。

第三个是关于推广的和鲁棒的中国剩余定理 【13，15】，这里只列了推广的中国剩余定理，而鲁棒的中国剩余定理在稍后才有。这是我对中国剩余定理研究的开起，现在还在做。中国剩余定理更是为大家所熟知且古老，是世界上最有名和最重要的出自中国的数学结果，它在很多领域都有重要应用。

第四个是discrete chirp-Fourier transform (DCFT)【17】。也许对Discrete Fourier transform (DFT) 所有的大学生都知道，DFT也是OFDM的必要工具，它被熟知得不能再熟知了。DFT是来匹配正余弦波的，即用来匹配常数频率信号。但是，如果把常数频率信号稍做推广到线性调频（LFM）信号，即线性chirp，DFT 就立马失灵了。DCFT就是用来匹配线性调频信号的，有意思的是，DCFT在信号长度为素数时为最优。其实DCFT与分数阶付氏变换（FrFT）有一定关系，都可用来匹配线性调频信号，但DCFT告诉我们什么时候最优。

关于FrFT,  我在入职特拉华大学前也有过一些研究，比如我是最早研究分数域带限信号采样定理的（发表在1996年3月份的IEEE SPL上），且证明了一个信号不可能同时在两个不同角度分数域下都是带限的。证明这个定理正是用到了前些天我讲到的一个Paley-Wiener定理。后来我在休斯研究院工作时，又利用FrFT,  提出了generalized marginal time-frequency distributions， 把时域和频域的边际分布推广到了任意分数域的边际分布上，且得到了其充分必要条件，这个结果发表在1996年11月份的IEEE TSP上。

还有一个结果我也认为是基础的，它就是在时频联合域内信噪比的解析分析【5，12】。大家都知道，对很多信号，它们经过一个时频变换后，如短时付氏变换 (STFT), 它们原来在时域或者频域里都看不到的，但在时频域里能看到，也就是说，它们在时频域里的信噪比（SNR）增加了。那怎么来解析地刻画这个性质呢？也就是说，怎么来算出时频域里的SNR？要算SNR，首先要弄清SNR的合理定义。我们平时的SNR其实是对平稳信号来定义的，都是在平均意义下进行，即信号与噪声的平均功率比。可是当我们在时频域内能看到信号时，其实它已经不是平稳信号了。为此我首先定义了3分贝（3dB）SNR, 然后算出了STFT 和·pseudo Wigner-Ville域里的SNR，并且得到在时频联合域里SNR的增加与信号在时域上的采样率成正比的公式。

再有一个，尽管不算基础，但我觉得理论上挺有意思的。它就是filterbanks 在码间干扰信道盲解调上的应用 【14，16，18】，即polynomial ambiguity resistant precoders (PARP)， P(z):

Y(z)=H(z)P(z)X(z)+W(z),

这里H(z)是不知道的信道, X(z)是发端发的信息信号，P(z)是发端的预编码，Y(z)是收端收到的信号，W(z)是加噪声。如果P(z)是PARP，那么收端可以利用Y(z)和P(z)就可以把X(z)确定（在可能只差一个公共常数的意义下），我们对这样的PARP做了刻画和构造。

下面所列的论文里还有不少别的题目，如雷达方面的，这里就不一一介绍了。也当然，这里不是为了数论文而列论文，因为我觉得我下面所列的每篇论文里都有真正新的结果。我1996年秋入职特拉华大学，很幸运地在1999年就拿到tenure了，所以我上面介绍的前5年里的后2年是post tenure 的，即后tenure 时代。其实对我本人早已没有了任何区别，我早已成了科研人！另外正是在这5年内，我家老二也诞生了。

尽管今年是我在特拉华大学工作的第30年，但我觉得我对我自己在特拉华大学前5年的科研成果最为满意，我也最愿意去再读它们。想必以后退休了，能喜欢读自己过去的论文也将会是一种乐趣吧。最后，我衷心希望我上面的回忆对年轻的教授们有一点点帮助。

[1] X.-G. Xia, “System identification using chirp signals and time-variant filters in the joint time-frequency domain,” IEEE Trans. on Signal Processing, vol. 45, no. 8, pp. 2072-2084,  Aug., 1997.

[2] X.-G. Xia, “New precoding for intersymbol interference cancellation using nonmaximally decimated multirate filterbanks with ideal FIR equalizers,”  IEEE Trans. on Signal Processing, vol. 45, no. 10, pp. 2431-2441, Oct. 1997.

[3] X.-G. Xia, “A family of pulse shaping filters with ISI-free matched and unmatched filter properties,”  IEEE Trans. on Communications , vol. 45,  no. 10,  pp. 1157-1158, Oct. 1997.

[4] X.-G. Xia and M.Z. Nashed, “A method with error estimates for band-limited signal extrapolation from inaccurate data,”  Inverse Problems,  vol. 13, pp. 1641-1661, Dec., 1997.

[5] X.-G. Xia, “A quantitative analysis of SNR in the short-time Fourier transform domain for multicomponent signals,” IEEE Trans. on Signal Processing, vol.46, no. 1, pp. 200-203, Jan. 1998.

[6] X.-G. Xia, “Smooth local sinusoidal bases on two dimensional L-shaped regions,”  The Journal of Fourier Analysis and Applications, vol.4, 53–66, Jan. 1998.

[7] X.-G. Xia, “Orthonormal Matrix valued wavelets and matrix Karhunen-Loeve expansion,”  Contemporary Mathematics, vol.216, 1998.

[8] X.-G. Xia, “A new prefilter design for discrete multiwavelet transforms,” IEEE Trans. on Signal Processing, vol.46, no. 6, pp. 1558-1570, Jun. 1998.

[9] X.-G. Xia, C. G. Boncelet, and G. R. Arce, “A wavelet transform based watermark for digital images,” Optical Express, vol. 3, no. 12, pp. 497-511, Dec. 1998.

[10] X.-G. Xia, “Doppler ambiguity resolution using optimal multiple pulse repetition frequencies,” IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems, vol.35, no. 1, pp. 371-379, Jan. 1999.

[11] X.-G. Xia and S. Qian, “Convergence of an iterative time-variant filtering based on discrete Gabor transform,” IEEE Trans. on Signal Processing, vol. 47, no. 10, pp. 2894-2899, Oct. 1999.

[12] X.-G. Xia and V. C. Chen, “A quantitative SNR analysis for the pseudo Wigner-Ville distribution,” IEEE Trans. on Signal Processing, vol. 47, no. 10, pp. 2891-2894, Oct. 1999.

[13] X.-G. Xia, “On estimation of multiple frequencies in undersampled complex valued waveforms,” IEEE Trans. on Signal Processing, vol. 47, no. 12, pp. 3417-3419, Dec. 1999.

[14] X.-G. Xia and H. Liu, “Polynomial ambiguity resistant precoders: theory and applications in ISI/multipath cancellation,” Circuits, Systems, and Signal Processing, vol.19, no.2, pp.71-98, 2000.

[15] X.-G. Xia, “An efficient frequency estimation algorithm from multiple undersampled waveforms,” IEEE Signal Processing Letters, vol. 7, no. 2, pp. 34-37, Feb. 2000.

[16] X.-G. Xia and G. Zhou, “On optimal ambiguity resistant precoders in ISI/multipath cancellation,” IEEE Trans. on Circuits and Systems - II, vol. 47, no. 8, pp. 746-756, Aug. 2000.

[17] X.-G. Xia, “Discrete chirp-Fourier transform and its application in chirp rate estimation,” IEEE Trans. on Signal Processing, vol. 48, no. 11, pp. 3122-3133, Nov. 2000.

[18] X.-G. Xia, W. Su, and H. Liu, “Filterbank precoders for blind equalization: Polynomial ambiguity resistant precoders (PARP),” IEEE Trans. on Circuits and Systems I, vol. 48, no. 2, pp. 193-209, Feb. 2001.

[19] X.-G. Xia, “Dynamic range of the detectable parameters for polynomial phase signals using multiple lag diversities in high-order ambiguity functions,” IEEE Trans. on Information Theory, vol. 47, no. 4, pp. 1378-1384, May, 2001.

[20] X.-G. Xia and S. Qian, “On the rank of the discrete Gabor transform matrix,” Signal Processing, vol. 81, no. 5, pp. 1083-1087,  May, 2001.

[21] X.-G. Xia, “Precoded and vector OFDM robust to channel spectral nulls and with reduced cyclic prefix length in single transmit antenna systems,” IEEE Trans. on Communications, vol. 49, no. 8, pp. 1363-1374, Aug. 2001.

[书] X.-G. Xia, Modulated Coding for Intersymbol Interference Channels, Marcel Dekker (it is now CRC), Oct. 2000.