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斯托克斯定理的欠完备和由它引出相对论 能反映的现实物理世界的局限性
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斯托克斯（Stokes）一个关于矢量分析的基本定理被广泛应用于理论物理学的各个领域，它是麦克斯韦总结全部电磁学理论的数学基础，也是理论流体力学入门的基本定理之一。这里所指的这个用第一创立人斯托克斯（Stokes）的名字称之的定理，并不是指大家熟知的旋度垂直方向面积分等于环流线积分。索末菲（Sommerfeld）在其经典著作《理论物理第二卷·介质运动力学》中[1]，扼要地介绍了这个关于矢量分析的基本定理，原文是：
A continuous vector field V ,defined everywhere in space and vanishing at infinity together with its first derivatives,can be represented as the sun of an irrotational field V1 and a sloenoidal field V2 ：V = V1 + V2 ， where curlV1 = 0, divV2 = 0 ；divV1 = divV ,
curlV2 = curlV 。
现将它翻译如下：
定理：一个在无限远处和其对坐标的诸一阶导数一同消失的空间各点上能定义出的连续矢量场 V ，可以表示为一个无旋矢量场 V1 和一个无散矢量场 V2 之和：
V = V1 + V2 , curlV1 = 0 , divV2 = 0 （1）
divV1 = divV ， curlV2 = curlV （2）
紧接着，索末菲阐述了运用格林（Green）定理求 V1 和 V2 的演算次序和证明（1）、（2）式的过程。
在索末菲论证这个定理过程中，一个基本重要而且值得考虑的关键点是：在求无旋矢量V1 和无散矢量V2 时分别引入了一个标量势函数Φ 和一个矢量势函数A，并假设A也是一个无散矢量，即对A附加一个条件：divA = 0 。正是有了这个附加条件，才能依格林定理求得A ，进而得到V2 。然而，这个设想的附加条件divA = 0是不是满足了呢？索末菲在书中[1]似乎作了证明，但是仔细分析可以发现其中有明显的类似“飞过海”式的错误！说的简单一点，是相当在求证某一命题的证文中已经用到了这个命题，其它陪衬的证文实际已不起作用。这错误并不能因“幼稚”而显得“小疵不必深究”。从这几页原文可以看出，这错误不会是索末菲编著他的理论物理的错误，必然是斯托克斯定理的原始错误。由上述错误而证得的这定理的结论的影响是：符合这定理前提的现实唯物世界的物理数量的矢量表达，都可以将其有散部分V1 和有旋部分V2 清清楚楚分开；分开之后，有散部分必然无旋，有旋部分必然无散。最大的不良影响是使人错误认为：符合这定理前提的现实唯物世界的物理数量，不存在有“旋”和“散”不可分而必须混为一体来处理的情况。上述的必然“分开”和“不存在不可分”，只方便了依一定的路线布置下来去发展理论的工作方法，却大大掩盖了现实物理世界的部分真实本质，无法将它也归纳到这条路线下的理论体系里面来。一个描述物理数量的矢量V ，什么情况下可以将它的有散部分V1 和有旋部分V2 清清楚楚分开，什么情况下它的“旋”和“散”不可分？这些无法从斯托克斯（Stokes）的原定理中给出。这就是斯托克斯（Stokes）原定理的欠完备之处。
这个基本定理的真伪关键是如何确立divA = 0这个附加条件；或这个条件能不能确立。
在《相对论研究进展——隐埋半个世纪的相对论研究》一书中[2]，作者详细支解剖析了该定理和它的证明细节。首先，指出证明过程中明显疏忽的类似“飞过海”式的证文无据；也就简单中学代数知识支解出这定理的无据线索。然后依严谨的数学途径，说明一个数学定理证文里用到的东西只能在定理的前提和依据前提的布局里去求，寻到了这定理真伪两面的分水岭；因而明确指出原定理只看见分水岭一面的“机会主义”。最后并指出，就原定理不健全见到的分水岭的“真”的一面依黎曼（Riemann）积分的理论来审查，原定理在任何小范围的部分空间里，还可能在可数的无限个点上不成立。书中[2]因而在避开“机会主义”的细致演算上，不谋而合地，严格建立起原定理两个分离着的积分方法之间的唯一能满足空间任何点上的微分形式的关系；就分水岭的两面重订了这定理。
以上对该定理的支解剖析和重订工作十分曲折，非三言两语可以说清，请感兴趣者细阅《相对论研究进展——隐埋半个世纪的相对论研究》一书[2] 。
揭示出原定理的欠完备性给我们所带来的重要启示是：符合原定理前提的矢量场 V ，存在有“旋”和“散”合并着发挥V 所表达的物理数量作用而不能分隔起来处理的可能性。这可能性显出包括V 这类型矢量的描述物理学的方程式无法通过空间反射换标的考验，并进而限制了相对论伸进符合“时间反演不变原理”（Principle of Time Reversal Invariance）的现代量子物理学。一句话：相对论半个多世纪以来的无多作为局面，就是斯托克斯（Stokes）定理“有限法门”的真实反映；“相对论主义”者不可避免的低落情绪，应归咎于百年来科学家仅看到揭出的斯托克斯（Stokes）定理的分水岭的是真非真一面的“美好景色”。
相反，《相对论研究进展——隐埋半个世纪的相对论研究》一书中[2]，在重订原定理的过程中，确已全部驱散了原定理引起的阴暗不清的云雾；从沟通Lagrange到Euler两路方程式的必然可能性的大好形势里，可以大有作为地将相对论溶解在经典力学里来应付面对现代物理学多方面的现实问题。同时，也可以深刻反思和怀疑：在基础上支配着现代电子学的、人人可完成的安培（Ampère）、法拉第（Faraday）等人做过的电磁学实验，是否也在无法脱离的一个特定空时坐标系统现场里，不自觉地受了一些不可分的矢量V 的“旋”和“散”的“选择性”的影响而完成？介绍麦克斯韦电磁学方程式组的书，大概都喜欢加几句赞赏文字，说是对称、简洁、美观而又包容了全部电磁学理论。现在揭开斯托克斯（Stokes）定理的欠完备性后就应清楚，这些“天生美观对称”都是不完备的斯托克斯（Stokes）定理所能引导物理学反映出的片面现象；它不能反映的朴质浑然的许多真实面，就不是这样长期染上什么色彩或烙印的科学家所能看到的。如果安培、法拉第以来的经典电磁学确是有因为在某些特殊（如，地球这个自转而又有公转）的观测坐标系统内完成感性认识的“选择性”，那么物理学定律的数学形式不应因用不同观测坐标系统而异这个名正言顺的相对论要求，很可能还得避开今天物理学家熟知的爱因斯坦的范畴来发展。
参考文献
[1] A.Sommerfeld , Lectures on Theoretical Physics, Vol.Ⅱ, Mechanics of Deformable Bodies [M] ,New York: Academic Press INC.,1950, 147--154
[2] 董俊，董纳，《相对论研究进展——隐埋半个世纪的相对论研究》 [M]. 英国 环球出版社，2025，277- 294
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