多体问题是一个十分复杂的理论问题，对于n > 3的n体问题，根本无法求出解析解。现在主要是采用数值方法和定性方法来进行研究。

Lagrange用“广义坐标”（Generalized Coorinnates），在坐标数目等同于所谓“自由度”数目之下，用变分方法推演力学，避开了牛顿力学中可能涉及空间对时间的三次和多次求导数。Maupertuis，Leibniz，Gauss，Euler，Hertz等人的见解以至发展成便利运算的Hamilton，Routh，Jacobi等诸家的系统方法，大体基本上都和Lagrange方法十分接近，因而都应看作是Lagrange方法体系的发展。A.Sommerfeld 一生为学都坚持理论实用不脱节，而A.Einstein则一生坚持从理论大处全盘着眼；必须兼有二人的素质和毅力来努力探索。如果有时间去研读即使是限于上面引到的这些先辈学者的毕生著述，必然能发现有一个相同于凭借空间对时间递次升级求导数的平易近人想法，这其中都有一条通到广义相对论所企望能统一主宰全部力学问题的线索，从而来沟通广义相对论数学楼阁内部到Lagrange等方便演算的统一认识多体题的道路。

《相对论研究进展——隐埋半个世纪的相对论研究》^[1]一书论述了对此做出的探索。十分值得重温由Lagrange到Poincaré等数学家关于三体题的工作，无须再去努力做许多不可再积的积分，而必须就其中许多微分形式去灵活体会相对论观点下的物理学意义。照这个方向去努力，终必能正确认识整个唯物世界的发展演变，上至天体，下至原子核内部。该书中^[1]以相对论观点，在二级导数为常数的限度里，讨论了多体系统的最低级稳定问题。

唯物世界的质体都在运动着。每个运动质体都以一定的固有运动方式和固有速度作为一个力学体系主宰下的n体系统内的一体，2≦n﹤∞ 。n = 2，即指熟知的二体系统；n趋近于无限多，则指独立的运动质体在一定力学体系的主宰下，作为整体宇宙内以一定的固有运动方式和固有速度运动着的一体。运动质体组成的n体系统也必以一定的固有运动方式和固有速度作为一个s体系统内的一体，n﹤s﹤∞，依次升级，直至整体宇宙这个趋近于无限多的多体系统。所以，整体宇宙包括所有唯物世界的全部运动质体，巨细无遗；它包括所有星体和星体结构，以至来往于星体间的一切基本粒子和光子。一切运动质体的存在方式都决定于全面统一的力学体系能否确定上面谈到的固有运动方式和固有速度；其必能，即指上面的2≦n﹤∞；其不可无限制的能，即指上面n和s的关系仅为，n﹤s﹤∞而无法确定一个最小的h，使s = n + h，1≦ h﹤∞；也无法确说n体系统内的n体能不能交叉着组成 n(n-1)…(n-h+1)/1▪2▪3…h 个h体系统。这个系统性的论断已全部无保留地包容了，如电子是如何能再分和宇宙究竟大到什么样子，这类群众性问题。还必须注意上面没有将无限大这个符号“∞”和s、n、h之间加上等号，写成“≦∞”；这就是说还必须面对整体宇宙内运动质体的现实有限性。人类文明，无论是企望一个跟头翻入九重天还是发掘组成物质元素的运动质体系统内的潜能，首先都必须由正确掌握运动质体的固有运动方式和固有速度入手。

多体系统中各运动质体的存在，在于相互间彼此能稳定地真实反映各自的固有空、时量度；否则彼此间涉及任何物理数量的关系都无从建立，无法表现出是相互依赖上符合某种力学体系而得以稳定存在的运动质体系统。首先就涉及一些常见到的物理数量守恒问题。从“测不准原理”来看，动量守恒是和空间量度守恒对立的，能量守恒也是和时间量度守恒对立的；因此，运动质体必须经常在无须反映其动量和能量的场合维持它的一切物理数量基本量纲的量度守恒。这就是空、时量度守恒。空、时量度守恒必依赖速度守恒，这是相对论的最基本原理。所以，n个运动质体能组合成为一个力学上的多体系统而稳定存在，必须满足下面五个条件：

（1）每个运动质体，在此n体系统内都依赖一个在稳定不变的固有运动方式中发挥作用的稳定不变的固有速度。

（2）整个n体系统能在更多的s系统内作为一体发挥出稳定不变的固有速度。要注意n＝1的情况并不使（1）、（2）两条件合并为一条；（1）条的固有速度是这个一体系统内的自由独立运动质体的速度，很类似于牛顿第一定律所指的“惯性”速度；（2）条的固有速度是指这个一体系统在推广的“惯性”意义下对上一级多体系统加强其附属性的固有速度。依物理数量的“本体搭配论”，这个运动质体的质量和能量可以稳定在速度的一段限度内。

（3）n体系统内的任何二体都能成为一个符合上述（1）与（2）两条件的二体系统。

（4）n体系统内的任何一体和整个n体系统作为一体也能在更多的s系统内，符合上述（1）与（2）两条件组合成为一个二体系统。这个整体作为一体的位置和速度都各各有内外两项；外项是指在s系统内的固有运动方式而言；内项是指n体系统内各各个体的固有运动方式附带给予整体作为一体的“质心移动”。同样根据物理数量的“本体搭配论”，这n体系统作为一体的质量和能量都能稳定在它的固有速度的一段限度内。这是多体系统结构依次升级的稳定理论基础。考虑到没有不可再分的运动质体和（2）条文内对n＝1的加注，这个“一体系统”在（1）条内所指的固有速度就相当“内项”的“质心移动”；在（2）条里所指的固有速度就是“外项”。

（5）上述四个条件内的固有运动方式和固有速度，在任何观测坐标系统内观测都不变。

以上就是相对论观点下的多体系统的“最低级”稳定条件。说“最低级”，是因为速度是空间对时间的一阶导数，还没有全面引进空间对时间的二阶以上的导数来论证，因为上面五条件只论及n体系统本身和其成员相互交错着的二体系统，依《相对论研究进展——隐埋半个世纪的相对论研究》^[1]一书对“二体系统固有运动”的论述，稳定的二体系统的空间对时间的二阶导数已为常数，二阶以上导数的数值皆为零。n体系统的高级稳定问题，是将上面第（3）、（4）条件内提到的交错着的二体系统，依次上升到任何h体系统，2≤h≤k＜n；k的存在就是这n体系统的“k级”稳定问题，此时必须引进全部由2到（k－1）阶的所有空间对时间的导数来论证它的稳定条件。如果k＝n，这n体系统就成为一个“全面”稳定系统。在无法符合“最低级”条件时，就只能取消（3）、（4）条件内的“任何”二字而成为一种“类似稳定”或“准稳定”的n体系统。大自然间当然以“准稳定”系统为最多。整体宇宙这个最多体系统必然是一个“准稳定”系统，不会有“寂灭”的来到；它还必然包含有大量的“最低级”和“全面”稳定的多体系统，使它所包含的更多的“准稳定”多体系统的调整改组所表现出的“生、灭”现象，这些都还是有规律可以掌握得。

上面五个条件的第（5）条是相对论观点下的总要求。第（1）条可比拟各个运动质体的运动量守恒问题，第（2）条相当这n体系统的能量守恒问题，第（3）条类似任何二体系统应符合二体题内的角动量守恒问题，第（4）条当然就是任何一体和整体质心间的角动量守恒问题，是多体系统升级稳定问题的最重要线索。总的来说，这是对经典力学无法解算的多体题，说出从经典力学观点可以了解，而又基本上符合相对论观点的“守恒定律”。一个“保守系统”实际就是“孤立系统”，这是十分不现实的近似说法；故经典力学的应用都限于一定的孤立而近似的圈圈里。以上这些论述所包含的更详尽的细节可阅读《相对论研究进展——隐埋半个世纪的相对论研究》^[1]一书。

如果只限于就位置和速度来论证如何认识运动质体的存在，每个运动质体就有六个自由度，故n体系统的自由度是6n。作为一体，整个n体系统肯定最后属于整体宇宙这个最多体系统；它在直上一级所属的s体系统内的位置和速度，就是属于这s体系统内的6s个自由度里的问题。在上面五个条件里，第（1）、（2）条件的总数是(n+1），第（3）、（4）条件的总数是n(n+1)/(1·2)。所以，n体系统的的最低级稳定问题，只须比较6n和(n+1）+ n(n+1)/(1·2) 的数值大小。为方便比较两式大小，可以定义一个指标 N = n² - 9n + 2 ，n体系统的的最低级稳定问题就可以通过N 的数值大小来判定，N 的负值最大最稳定，这时此n体系统有充分自由幅度，得以应付随时随处可能碰上的“意外事变”。计算结果可以论断：n = 4 和n = 5时，N = -18，为最大负值，此时系统最稳定；很难存在有 n ≧ 9的n体系统,因为此时N 已为正值。个数太多的运动质体，只能以8为限制作为组合成的个体，由不大于8的多个这样组合体又组成高一级的多体系统，递次升级，成为一个统一力学体系所允许的结构，在整体宇宙内作为一个多体系统而存在。

在《相对论研究进展——隐埋半个世纪的相对论研究》^[1]一书中，将这理论结果详细对照了太阳系和原子结构内的主要公认事实，更显出自然界里没有“偶然”存在的不可解释的现象，其中都有这个N = n² - 9n + 2的“一以贯之”的不可磨灭的道理。

该书^[1]指出，整个太阳系应该认为是一核二层的3体系统，与原子结构的电子“壳层”结构一样。由太阳到天王星是这天体系统的第一层，海王星、冥王星和所谓柯伊伯带的矮行星应当是第二层内的成员，主要依据就是反映了太阳系演化过程中行星与太阳距离之间规律的Bode定律，它是1772年由柏林天文台台长约翰·波得（Johann Elert Bode）归纳而成的一个经验公式。

第一层从太阳到水星、金星、地球、火星、木星、土星和天王星，正好是符合N = n² - 9n + 2为负值的稳定8体系统；在火星和木星之间分布有小行星群，必然是此处的应有一个大行星，因无法查出的欠稳定状态而分裂成许多小行星。这个分裂原因的主要方面，肯定已被前面所述的N = n² - 9n + 2这个数值的负值越大越稳定，说得清清楚楚。因为由太阳到水星、金星、地球、火星，正好已成为一个n=5的最稳定的多体系统，由5体系统发展到6体系统，是稳定程度开始走下坡路，这个天体演变过程中的分裂记录就不是偶然事件了。

另外，太阳系内层的8体系统已到了“最低级”稳定的边缘，必然还有一些欠稳定的事实可以查明对照。书中就已掌握的事实一一列举分析：首先，木星和它的由近而远的7个较大、较重的卫星自然也正好成为一个到了“最低级”稳定限度的8体系统，所以它的应属于第二层的第8、第9、二个卫星就开始出现了“倒行”（retrograde）现象；这里面必然联系到木星和它和它的第一层这8体系统及太阳系内层这8体系统都到了“最低级”稳定边缘的现象。其次，土星不但有太多的卫星，而且还有自古以来就被人注意的土星环系统。已公认的7个土星环按照被发现的先后用英文字母依顺序命名，它们按距离土星从近到远分别为：D、C、B、A、F、G和E；7个土星环连同土星正好组成一个8体系统，到了“最低级”稳定的边缘。注意到A环中有明显的可以透过环后天体的两个狭窄的环缝，它们似乎将A环分割成了三个部分，使它好像是由三个小环拼合而成。所以，土星和土星环系统就是土星的最内层结构由大于8体的10体系统正转变到8体系统的真凭实据；这和太阳系的内层多体系统在火星、木星二星间有过行星分裂的记录有本质的相同。应特别注意太阳系内层8体系统已到了“最低级”稳定边缘的天王星的确实情况。第一，它的五个最大的卫星全部都是“倒行”，这是极其少有的十分异样。第二，最特别的现象是它的自转的赤道面和轨道面的交角超过80º，而其它行星的这个角都不过20º；也就是说，天王星的自转轴几乎是躺在轨道平面上的。这表明，天王星在太阳系里的运动情况就像一个将躺倒在地而缓慢转动挣扎着的陀螺。所有这些公认事实和现象都可以用相对论观点下的多体系统的“最低级”稳定条件理论得到说明；目前正在发展中的天文观测研究和收集到的太空科学情报资料必将进一步加强这个理论。

应用多体系统的“最低级”稳定理论来对照审查现代量子物理学公认的原子结构事实，昭昭然摆在大家面前的92种天然元素和11种人造元素的电子“壳层”，由原子核外的“K层”开始，按元素周期表的原子序数由轻到重，只总共允许存在“K、L、M、N、O、P、Q”7层。每层作为一体，这7层连原子核共为8体，已到了“最低级”稳定的边缘；所以大自然界里不可能稳定地存在，比目前地球上化学家已掌握清楚的103种元素更多、更重，电子“壳层”超过7层结构的元素。

每个壳层作为一个多体系统体，它的某个“次壳层”就应被看作是这个多体系统内的一体。次壳层的多少就显出壳层本身的稳定问题，故最多次壳层的数目只限于“s、p、d、f”四个次壳层，已到了“最低级”稳定的顶点。次壳层数目在各壳层中的分布就显出整个原子的稳定问题，这是主流；故最多的四个次壳层只出现在各类型原子结构的第四壳层（4s、4p、4d、4f）和第五壳层（5s、5p、5d、5f）。由第四壳层向前、第五壳层向后去看各壳层，次壳层的数目大体上都向两头逐层减少下去。各次壳层内电子组合结构的不规则情况在原子序数Z=24的Cr元素的第三壳层内开始，在原子序数逐渐增加的各元素的第四、五、六壳层内不断出现；在第五、六壳层内的次壳层数目虽随上述的稳定主流开始减少，但这种不规则现象并不减少。这都和太阳系内火星、木星二行星之间有过行星分裂记录和木星的各种“最低级”稳定边缘现象完全有相同的理论根源。现在，符合这理论的多体系统就多了。

在《相对论研究进展——隐埋半个世纪的相对论研究》^[1]一书中，考虑加上电子自旋的两个自由度后，对所有元素原子各次壳层内电子组合结构一一做了分析，提供了从另一个视角来认识原子内电子组合结构的理论，对几种稀有元素原子结构的“欠明”情况提供了一些独特有据的重要参考。这些稀有元素之所以“稀有”，当然和它们的整个原子结构及该次壳层内电子组合结构都已经到了“最低级”稳定的边缘有关。感兴趣的物理学家和物理学爱好者可进一步在书中阅读细节。

原子的蜕变，无论是天然的还是人工的，必然是原子核的改组问题，都伴随着α、β、γ三种放射现象而进行。α粒子就是氦原子核，这个以4个“原子质量单位”标榜的4体系统，能集体组合为“一体”进出原子核，它的进出必然是为原子核经过改组而“补偿”了稳定程度，也显出这4体系统本身的坚强稳定。这就是我们当n = 4时，N = n² - 9n + 2的负值最大最稳定的十分纯朴浑然的理论。这也可以说明自然界里α粒子为什么如此之多。地质学家和天体物理学家早就研究揭示出宇宙中化学元素的丰度分布，最为丰富的元素除氢外就是氦。解释宇宙中氦元素的丰度问题一直是理论天体物理学面临的一个重要任务。我们的多体系统“最低级稳定”理论的对象是整个大自然所包容的物质世界，是根本上超“物理条件”而立论的理论。它肯定说明了这4体系统是组成物质世界的基本“砖”，不妨请天体物理学家搬出百多年来文献中有关天体氦丰度的理论来参考对比。

核子堆积分配比函数，或称核子敛集率（Packing fraction），应是我们理论矛头所指的一个最具体对象。这直接联系到利用厚生，显出A.Einstein坚持用相对论统摄全部物理学的独具慧眼见解确能不断造福今后人类科学事业。当然，这必须将相对论观点下多体系统“最低级稳定”理论向前具体推进。

[1] 董俊，董纳，《相对论研究进展——隐埋半个世纪的相对论研究》 [M]. 英国 环球出版社，2025

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