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德布罗意（de Broglie）波—粒速度关系式在不同介质中的相对论协变

已有 421 次阅读 2026-4-27 17:16 |个人分类:新书介绍|系统分类:论文交流

德布罗意（de Broglie）波—粒速度关系式在不同介质中的相对论协变

以真空中光速作为不变常数的传统狭义相对论，只适合处理真空中二惯性坐标系统S和S´之间的物理学问题，它限制了在不同介质里（或在真空和介质里）讨论两个惯性坐标系统S和S´之间物理学方程的换标协变问题和因此而生的有关相对论的物理学问题。在不同介质中建立德布罗意（de Broglie）波—粒速度关系式时就遇到了这个问题。

按德布罗意（de Broglie）假设，一切实物粒子都具有波粒二象性。质量为m，并以速度u运动的粒子，就有一定波长λ和频率ν的波与之相对应。表征粒状性质的物理量，如能量E、动量P和表征波状性质的物理量，如波长λ、频率ν之间满足关系：E = h ν，P= h /λ，h为普朗克常数。de Broglie波的相速度v_p= νλ= w，即波面传播的相速度w；群速度v_g= u，即粒子运动线速度u 。

设在真空惯性坐标系统S内，一个质量为m的实物粒子，其波状速度（相速度）为w，粒状速度（线速度）为u，由于w =νλ= (E/h)(h/P)=(mc²) /(mu) = c²/u，所以波—粒速度满足关系式：

u w = c² （1）

假设有另外一个与S系相对运动的S´系（S´系当然可以在某一各向同性无色散均匀介质中），S中观测S´沿S的x轴方向运动速度为v，光速为c；S´中观测S沿S´的x´ 轴方向运动速度为v´，光速为c´。那么，de Broglie波—粒速度关系式（1）在S´系中应有怎样形式？

如果de Broglie波—粒速度关系式满足相对论协变性，那么我们可以应用波面传播相速度w和粒子运动线速度u在S与S´间的变换关系来得到S´系中的de Broglie波—粒速度关系式。

假设粒子沿x轴方向运动，根据真空中光速为不变常数c的传统狭义相对论的坐标变换，可以得到粒子运动线速度u在S与S´间的变换关系为：

u' = (u–v)/(1–u v /c²) (2)

波面传播相速度w在S与S´间的变换关系为：

w' = (w–v)/(1–w v /c²) (3)

将（2）与（3）两式相乘，并运用w u= c²，则得到:

u' w' = c² （4）

这难道就是在各向同性无色散均匀介质S´系中的波—粒速度关系式吗？

仔细分析一下，这个结果显然是有问题的。因为如果考虑在充满各向同性无色散均匀介质的S´系中原点发出的一束光波，介质的折射率是n，则这束光波的波面传播的相速度 w'= c/n ，将光视作为粒子，对应光子运动线速度u'= c/n ，那么在这均匀介质中的S´系de Broglie波—粒速度关系式应为u' w' = c²/n²= c´²≠ c² 。这明显与（4）式不符！那么，这个明显的矛盾怎么解决？

这是用传统狭义相对论处理介质中相关物理问题时遇到的问题和矛盾。莫勒（C.Mɸllre）著《The Theory of Relativity》是相对论的经典名著，他在书中第Ⅱ章用传统狭义相对论处理运动介质中光波的行进或光能随光子传播问题时，就是徘徊在这样的困难和矛盾的歧路上，处于碰壁回头无缝可钻的困境^[1]。在《相对论研究进展——隐埋半个世纪的相对论研究》一书中^[2]，对这个问题作了详细的分析，明确指出了其中明明白白无法遮掩的形式矛盾。并且运用建立的光速可变狭义相对论的坐标变换公式、速度变换公式、波传播特征量（频率、相速度、波面法线方向）的变换公式，得到粒子运动线速度u在S与S´间的变换关系为^[2]：

u' = (c’/c) (u-v)/(1-u v /c²) (5)

波面传播相速度w在S与S´间的变换关系为：

w' = (c’/c) (w-v)/(1-w v /c²) (6)

同样，将（5）与（6）两式相乘，并运用S系中关系w u= c²，就得到了在折射率为n的各向同性无色散均匀介质中S´系的de Broglie波—粒速度关系式:

u' w' = c´² c'= c/n （7）

（7）式表明:可以将真空S系中的德布罗意（de Broglie）波—粒速度关系式u w = c² 推广到介质S´系中，成为u' w' = c´² ，使其在不同介质内不违背物理学脱离观测坐标系统而客观存在的相对论原则而具有协变性。在《相对论研究进展——隐埋半个世纪的相对论研究》一书中^[2]，还证明：如果在S系中粒状运动的速度方向和波状运动的波面传播法线方向重合，则它们在S´系中也重合；这重合性不因惯性坐标系统的不同而异，即使在不同介质里也是这样。这就自然解决了莫勒（C.Mɸller）用传统狭义相对论处理运动介质中光波的行进或光能随光子传播问题时遇到的困难和矛盾。

随着c´≠ c狭义相对论的建立，德布罗意波—粒速度关系式也由在真空中的u w = c² 推广为介质中的u' w' = c´² ，即对任何介质内或引力场中或附带有加速度时的任何坐标系统S´均同样有效。这里u （或u' ）是实物粒子的粒状位移速度，即它的能量传播速度，或称波群速度；w（或w' ）是实物粒子对应波的波相速度。一个运动质体的粒状速度u（或u' ）如小于c（或c' ），则其波相速度w（或w' ）必大于c （或c' ）；反之，如 u（或u' ）大于c（或c' ），则w（或w' ）必小于c（或c' ）。许多小于c' 的 u'（或 w'）在推广后的狭义相对论速度加法里，无论如何加不出大于c' ；那对应的大于c' 的许多 w'（或 u'）也加不出小于c' 。至多，只能由两头相对趋向于极限，即 u' =w' = c´。所以德布罗意波—粒速度关系式和狭义相对论是相融的，都是基本上突破欧氏的矢量加法。狭义相对论没有什么神秘性要突出‘真空中光速’；也不需要再强调‘光波’或‘光子’在相对论应用于物理学后的特殊物理意义。只要现实上有任何类运动质体在其运动的现实环境（如介质、引力场、加速等）是u' =w' ，则可凭借此事实建立一级狭义相对论，称u' =w' 为此级狭义相对论在此环境下的 c'。c（或c´）作为S（或S´）内观测得“速度群”的“上限速度”，也就是相对论中速度的特殊加法能加到的“上限数值”，并不包含任何涵义说撇开这特殊非欧几何矢量加法就不允许物理世界存在有超过“矢量加法极限”的速度数值。因此，推广后的光速可变的相对论与德布罗意（de Broglie）波—粒速度关系式是水乳相融的。从中已十分明白，没有必要再画蛇添足说狭义相对论里的光速应是能量传播速度，而不是相位传播速度。也没有必要再怀疑为什么相对论要捧出光速这个基本问题；更没有必要试图用它种速度代替光速，走形而上学的途径另外建立其它什么“新相对论”^[3]。我们所称“光速可变”是指S中的c变为S´中的c´，但是原原本本仍强调c是S中的常数和c´是S´中的常数。对以上说法有疑惑或感兴趣的读者请详阅《相对论研究进展——隐埋半个世纪的相对论研究》书中相关论述。