在工业生产与日常生活中，在有限时间内完成任务并不断重复运行的系统是十分常见的。比如汽车生产中的机械臂，在一辆汽车的生产过程中运动路径就是一次控制任务，后续车辆的生产便是将这一过程重复进行。迭代学习控制方法适用于处理这一类系统。其基本原理在于，通过学习历史批次的经验信息，改善当前批次的控制效果，提升控制精度。

自从上世纪八十年代迭代学习控制被提出至今，比例型更新律是研究最为深入、应用最为广泛的迭代学习更新律。其主要原因在于比例型更新律具有简单的线性结构以及出色的控制性能。随着迭代次数的增加，比例型更新律可以实现系统跟踪误差的渐进收敛。然而，也正是由于其简单的线性更新结构，限制了收敛速度在跟踪误差较小时的进一步提升。在工业生产中，很多情况需要在给定的容许精度要求下，实现有限次迭代内完成对于目标轨迹的快速跟踪。因此，设计新的能够快速收敛的迭代学习控制算法，一直以来都是一个有意义的并且富有挑战性的研究问题。

该更新律跳出了一直以来所广泛使用的线性更新结构范式，将跟踪误差的分数阶作为更新项，设计了如下非线性迭代学习更新律：

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实现了跟踪误差较小时相较于线性更新律的加速效果。其加速的基本原理在于，通过采用跟踪误差的分数阶作为更新项，使得跟踪误差较小时，算法仍然可以保持较强的更新强度，从而可以实现较快的收敛速度。相比于使用线性更新项的比例型更新律，分数阶更新律可以实现小误差阶段算法的快速收敛效果。

跟踪误差随迭代次数的演化如下图所示：

图1  跟踪误差收敛到极限环

进一步，本成果给出了极限环所有可能取值的计算方法，将极限环的可能取值和一个非线性方程的解对应起来。数值仿真结果验证了计算结果的准确性。通过和比例型更新律在不同的参数选取情况下的仿真结果的对比，验证了所提出的分数阶更新律在收敛速度上的优势。相应仿真结果如下图所示：

图2  不同增益选取下比例型与分数阶更新律误差演化动态

图3  不同分数阶选取下比例型与分数阶更新律误差演化动态

此外，从图3中还可以看到，随着分数阶的阶次取值趋近于1，两种算法的跟踪误差曲线越来越接近。这是由于当分数阶的阶次取值为1时，分数阶更新律就退化成了比例型更新律。因此，传统的比例型更新律可以看成本文所提分数阶更新律的特殊情形，而本文所建立的设计与分析方法可以看成是更一般化的迭代学习控制框架。

李子涵，中国人民大学数学学院应用数学专业硕士研究生。本科毕业于湖南大学数学学院数学与应用数学专业。主要研究方向包括学习控制与参数辨识。

沈栋，中国人民大学数学学院教授，分布式人工智能实验室负责人。现为中国自动化学会数据驱动控制、学习与优化专业委员会副主任委员，中国自动化学会控制理论专业委员会委员，IEEE Senior Member，国际期刊International Journal of Robust and Nonlinear Control, IEEE Access, IET Cyber-Systems and Robotics编委，IEEE/CAA Journal of Automatica Sincia青年编委。曾获得2022年河南省自然科学二等奖，2021年山东省自然科学奖二等奖，2017年顶级期刊IEEE TAC杰出审稿人，2014年IEEE控制系统协会北京分会青年作者奖，2012年吴文俊人工智能科技进步二等奖等，入选国家高层次青年人才支持计划。研究方向为迭代学习控制、随机系统的优化与控制、随机逼近算法等。

余星火，澳大利亚皇家墨尔本理工大学(RMIT U.)杰出教授，副校长。澳大利亚科学院院士，IEEE Fellow，IET Fellow，澳大利亚工程师学会荣誉会士，教育部“长江学者奖励计划”讲座教授。曾于2018年和2019年担任IEEE工业电子学会主席。主要研究方向为控制系统、复杂智能系统、未来能源系统等。曾担任IEEE Transactions on Automatic Control, IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers, IEEE Transactions，IEEE Transactions on Industrial Electronics和IEEE Transactions on Industrial Informatics等顶级期刊的编委。曾获得IEEE工业电子学会2013年Dr.-Ing. Eugene Mittelmann成就奖、澳大利亚工程师协会2018年M.A.Sargent奖章等。

余星火教授当选澳大利亚科学院院士

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