（前两篇见你完全可以理解量子信息（1） | 袁岚峰、你完全可以理解量子信息（2-3） | 袁岚峰）

四、微观世界运行的操作手册

你可能听说过不少渲染量子力学如何难以理解的说法，如“连爱因斯坦都理解不了量子力学”，“费曼说，没有人理解量子力学”。但对初学者来说，这些说法有点误导，会让你以为量子力学是一种玄学、禅机，一种类似脑筋急转弯或者诡辩的东西。

实际上，量子力学是一套清晰的数学框架，可以比作微观世界运行的一本操作手册。全世界有数以百万计的科技人员熟悉这本操作手册，就像全世界有数以百万计的管道工熟悉管道操作一样。根据这本操作手册，我们能对微观世界的运行做出精确的预测，跟实验符合得极好，常常准确到小数点后第9位甚至更多。

英国物理学家狄拉克的名著《量子力学原理》

那么难理解的是什么呢？是这本操作手册“为什么”是这样，这是个哲学层面的问题。而这本操作手册本身，是十分清楚的。好比你拿到《九阴真经》，虽然不明白里面很多地方为什么这么写，但你照着练就能成为武林高手。

从信息科学的角度看来，量子力学中能够利用的是三个非常违反宏观世界日常经验的要点：叠加、测量和纠缠。我们不妨称之为“三大奥义”。这不是说量子力学中只有这三个奥义，当然还有其他的，只是跟信息科学的关系不是那么大，本文中就不介绍了。

这三大奥义虽然违反“常识”，但微观世界的许多实验早已验证了它们的正确性。在阅读下文时，每当你感到“这怎么可能”、“这不是胡说八道吗”的时候，请记住，这些原理不是某个科学家的心血来潮向壁虚构，而是已经经过近百年来的无数实验反复证明的，其应用范围几乎涉及我们身边所有事物。所以，在目前的认识范围内，科学界把这些原理视为真理。

如果你想问“如果这些理论是错的会怎么样”，回答是：你的电视就开不了机，手机就通不了信，计算机就算不了东西，灯管就发不了光。所以，你希望这些理论是错的，还是对的呢？

下面我来具体解释这“三大奥义”，其中要用到一些数学符号，——因为这是最容易理解的方式。如果用日常语言来描述，会多费很多口舌，还说得不清不楚。许多文章令人越看越糊涂，就是这个原因。而用数学语言来描述，就能准确简洁地了解这“三大奥义”。

如果你真心想理解量子信息，超出吃瓜群众的水平，你就一定要跨越这个心理障碍，勇敢地面对数学。这样做了以后，你就会发现，其实并不难，你完全可以做到！

五、第一大奥义：叠加

“比特”是计算机科学的基本概念，指的是一个体系有且仅有两个可能的状态，一般用“0”和“1”来表示。典型的例子，如硬币的正、反两个面或者开关的开、关两个状态。

但在量子力学中，情况出现了本质的不同。量子力学有一条基本原理叫做“叠加原理”：如果两个状态是一个体系允许出现的状态，那么它们的任意线性叠加也是这个体系允许出现的状态。

现在问题来了，什么叫做“状态的线性叠加”？为了说清楚这一点，最方便的办法是用一种数学符号表示量子力学中的状态，就是在一头竖直一头尖的括号“|>”中填一些表示状态特征的字符。这种符号是英国物理学家狄拉克发明的，称为“狄拉克符号”。

在量子信息中，经常把两个基本状态写成|0>和|1>。而|0>和|1>的线性叠加，就是a|0> + b|1>，其中a和b是两个数。“线性”意味着用一个数乘以一个状态，“叠加”意味着两个状态相加，所以“线性叠加”就是把两个状态各自乘以一个数后再加起来。

叠加原理说的是：如果一个体系能够处于|0>和处于|1>，那么它也能处于任何一个a|0> + b|1>，这样的状态称为“叠加态”。这里a和b可以取任何数，对它们唯一的限制，就是它们的绝对值的平方和等于1，即|a|²+ |b|² = 1。

叠加原理乍看起来完全和常识相反。假如用|0>代表你在北京喝茶，|1>代表你在巴黎喝茶，那么(|0> + |1>)/√2就意味着你同时在北京与巴黎喝茶！这种状态怎么可能存在呢？

但量子力学的一切实验结果都表明，叠加原理是正确的，是一条必不可少的基本原理，至少在微观世界中是如此。一个电子确实可以“同时位于两个地方”（这句话实际的意思，要到下一节讲“测量”时才能完全明白）。至于宏观世界里为什么没见过一个人同时位于两处，那是另一个深奥的问题，我们在本文中不做进一步的讨论。

量子力学中的“叠加”

在叠加原理的框架下，经典的比特变成了“量子比特”。也就是说，这个体系的状态不是只能取“0”或取“1”了，而是可以取任意的a|0>+ b|1>状态，例如(|0> + |1>)/√2、(|0> - |1>)/√2、(|0> + √3|1>)/2、(√3|0> - |1>)/2等等。从两个选择到无穷多个选择，这是个巨大的扩展。显然，一个量子比特包含比一个经典比特大得多的信息量。

为了更方便地理解这个概念，我们可以把一个量子力学的状态理解成一个矢量（请回忆高中数学，矢量就是既有大小也有方向的量，例如牛顿力学中的力、速度、位移都是矢量）。实际上，狄拉克符号|>正是为了让人联想到矢量而设计的。以后我们就把表示量子力学状态的矢量称为“态矢量”。

我们可以认为，所有的a|0> + b|1>态矢量都属于同一个平面。而在这个平面上，|0>和|1>定义了两个方向，相当于xy两个坐标轴上的单位矢量。在|a|² + |b|² = 1的条件下，a|0>+ b|1>就是从原点到半径为1的单位圆上一点的矢量。看清楚这个几何图象，我们立刻就明白，单位圆上任何一点的地位都是相同的，没有一个态比其他态更特殊，可谓“众生平等”。

回忆一下高中学的解析几何。在那里我们首先要画出坐标系，确定两个坐标轴的方向，但具体的选择完全是随意的。任何两个方向都可以作为x轴和y轴，只要它们互相垂直。无论你怎么选择坐标轴，最终的计算结果都不会变（当然，计算过程的繁简程度可能不同）。在这里也是一样，你选择哪两个矢量作为|0>和|1>都可以，唯一的要求就是它们互相垂直。

叠加原理和基组

我们可以定义两个状态|+> =(|0> + |1>)/√2和|-> = (|0> - |1>)/√2，从图中可以看出，它们相当于把|1>和|0>向左旋转45度。如果把|+>和|->当作基本状态，用它们的线性叠加来表示单位圆上所有的状态，同样是可行的，——这就相当于把坐标系向左旋转了45度。在这个新的坐标系下，|0> = (|+> + |->)/√2，|1> = (|+> - |->)/√2。

事实上，一种常见的实现量子比特的方法，就是用光子的“偏振态”。光是一种电磁波，不断地产生电场和磁场。如果电场位于某个确定的方向，我们就说这个光子是偏振的。四个状态|0>、|1>、|+>和|->，分别对应光子的偏振处于0度、90度、45度和135度。在这个体系中，上面的图就不仅是个比喻，而且直接对应实验了。

取一组矢量，如果其他所有的矢量都能表示成这组矢量的线性叠加，那么这组矢量就叫做“基组”。|0>和|1>构成一个基组，|+>和|->也构成一个基组，这样的基组有无穷多个。

根据上面的图，我们还可以做一个比喻：经典比特是“开关”，只有开和关两个状态（0和1），而量子比特是“旋钮”，就像收音机上调频的旋钮那样，有无穷多个状态（所有的a|0> + b|1>）。显然，旋钮的信息量比开关大得多。

（未完待续）