注：此篇文章是在知乎网上回答网友的问题“流体一定是从压强大的地方流向压强小的地方，对吗？依据是什么？”而写的，以促进流体力学和湍流问题研究在国内外华人学术界的研究进展。 

图1 巴西伊泰普水电站--世界七大奇迹之一

（一）流体一定是从压强大的地方流向压强小的地方，对吗？依据是什么？

流体不一定是从压强大的地方流向压强小的地方，一般与压强的大小没有必然关系，因为压强大小不是决定流体流动的准则。流动要根据能量守恒定律，要看总的机械能大小和分布来决定，还有外部做功以及能量损失来决定。

学过流体力学的人都知道，一般来说，在截面积逐渐缩小的管道里面是压强逐渐减小，速度增大，这时是流体从压强大的地方流向压强小的地方。而在截面积逐渐增大的管道里面是压强逐渐增大，速度减小，这时是流体从压强小的地方流向压强大的地方。但是，大家要明白，在这两种情况下，入口的机械能肯定是一定大于出口的机械能的。否则，流体一定是向回倒流的。

（1）对不可压缩粘性流体，如果外部没有对流体做功，流体一定是从总的机械能大的地方流向总的机械能小的地方。即：

如果E1>E2， 则流体从1流向2，其中 E为总的机械能。E1-E2=H，就是沿程能量损失了。

例如水管子里面的水，进水口处E1, 大于出水口处E2, E1>E2， 这样水才能从入口流向出口。如果发生入口的E1小于出口处E2的情况， E1<E2，这时水就会从出口向入口处倒流了。这里我没有说水管子是等直径的管道，还是逐渐缩小，或者逐渐扩大的管道，都没有关系。

（2）对不可压缩粘性流体，如外部对流体做功了，上述是不一定成立的。要根据热力学第一定律（能量守恒定律）来定。

如果E1+W>E2， 则流体从1流向2，其中 E为总的机械能， W为外部对流体做的功。E1+W-E2=H, 就是沿程能量损失了。

例如水泵入口E1小于水泵出口E2, E1<E2，但水泵叶轮对水做功了（W)， 这样 E1+W>E2， 水才能从水泵入口1流向水泵出口2。

如果水泵的扬程不够（W小了）， E1+W<E2， 水泵是不能把水从水泵入口1送到水泵出口2的。相反，你用水桶提的一桶水倒入水泵出口处，都通过水泵进行倒流而流向水泵入口处了，做过水泵实验的同学都见过吧？在农村用水泵浇过地的同学也可能见过的。

再例如水力发电站用水轮机（图1），水轮机入口E1大于水轮机出口E2, E1>E2，水对水轮机转轮做了功W，即水轮机转轮对水做了负功（-W)， 这样 E1-W>E2。E1-W-E2=H，H就是由于水的粘性引起的水力损失（图1）。

注： 总的机械能=压力能+动能+位能（势能）。

（3）流动速度与能量损失的相关性

通过上面两种情况的理论分析，对于流体为什么会流动，我们可以总结出一个推论（Corollary）: 流体流动存在的必要及充分条件是沿程能量损失（H）不为零。而且发现，沿程流动损失越大，速度越大。如果沿程流动损失为零，则速度为零。这个推论，恰恰是湍流生成的物理机理的关键所在，湍流产生的秘密就在这里 [1]。

没有能量损失（能量差），就不能产生速度。有了能量损失（能量差），就必然产生速度。有了速度，就必然产生能量损失。没有速度，就不能产生能量损失。速度产生的必要及充分条件是存在能量梯度或有外部做功。速度和能量损失（能量梯度及做功）互为其单值函数。

说到这里，这里再次顺便通俗易懂地简要讲一下湍流是怎么产生的。当大量流体质点在流动时，每一个质点都要消耗一定能量（有一个能量梯度），才产生一个速度（相互平衡）。在扰动影响下，如果流体内部突然有一个流体质点上的能量损失（能量梯度）变为零，则这个质点的速度就突变为零。这时周围的质点还是继续走的，这样此处立刻引起了混乱，引起了湍流旋涡，湍流就产生了，这就是湍流的起源，而且这种说法与实验结果是一致的。

（4）湍流产生准则的唯一性

作者得出的这个湍流产生的机理对wall bounded flow and free shear flow 都是一样的，是通用的，湍流由一个唯一的机理支配，因为控制方程是同一个NS方程。而层流到湍流转捩的机理由NS方程的奇点出现的临界条件唯一地确定。这一点与国际上的最近20年的许多文章的看法是不一样的，他们认为在这两种类型的流动中，支配湍流产生和结构维持的机理是不同的。本文作者认为这种看法是错误的，在剪切湍流中，无论是wall bounded flow还是 free shear flow，湍流产生的机理应该是唯一的。举一个例子，我们在用水壶烧水，水沸腾开了的准则是水的温度达到了100度。你用一个大铁锅去烧水，水开了的准则还是水的温度达到了100度，临界点的准则是不会变的。不管你是改变了几何形状，还是改变了边界条件，由同一个数学物理方程所支配的产生转捩的临界条件的准则是不会改变的。几何形状和边界条件的改变只是加快或延迟了准则的发生而已。

许多湍流专家认为湍流是速度剖面的剪切通过壁面边界层里内外层的各种不稳定性作用导致了速度的脉动，而且还认为湍流转捩和湍流维持的机理是不同的。还有专家认为wall bounded flow里湍流的产生是由壁面作用生成的，在早些年代，还有的专家认为边界层湍流是由于边界层外部流动产生的。这些研究结果虽然发表在了国际流体力学顶级期刊上，但是没有坚实的理论支撑，也没有实验数据的支持。壁面流动中壁面附近的许多流动现象本来是湍流流动导致的结果，却被许多作者当成了湍流流动的成因。一个重要的事实是，尾迹流动中，不存在壁面流动中的壁面附近的那些现象，可是湍流维持确实是存在的。壁面流动和尾迹流动中，湍流产生和维持的物理机理应该是相同的，这个相同的核心机理就是速度间断导致的奇点。本文作者提出了能量梯度理论，发现湍流产生是速度剖面上同一条流线上的来流的动能通过奇点转换（非线性失稳）成了速度的脉动，这个奇点的产生正是湍流产生的临界条件，这是根据非定常的三维NS方程精确推导出来的，而且理论与实验是一致的。

作者上面讲的奇点，一定不在壁面上，是在流体内部，是在流体内部速度理论上瞬时为零的点，是速度间断点。反之不一定成立，即流体内部速度为零的点不一定是奇点，要看有没有速度间断，或者看看此点处的速度值是否在其定义域之内。

上述这是作者给研究生和本科生上课讲的部分内容。如果想进一步理解，请参考下面文献[1]的第二章，第五章及第九章273-275页内容。

（二）流体流动及失稳的基本问题

（1）流体流动及流动失稳的4个基本公理的确立

从回答上述问题，我们可以进一步讨论两个重要的基础问题，就是（a）流体为什么会流动？（b）流动为什么会失稳？现代流体力学并没有回答这2个最最基础的问题。这只能说牛顿力学或者说至少现代流体力学还不完备。如果这2个问题早一些时间回答了，可能湍流的问题早就解决了。

牛顿力学的三大定律：（a)惯性定律；（b）F=ma；（c）作用力与反作用力。牛顿力学定律奠定了经典力学的基础，成为现代科学的基石。飞机飞行，火箭发射，航天飞船，水泵设计，桥梁建筑，水利工程，等等都是依靠牛顿力学的基本原理。

可能有的同学会问，牛顿力学诞生于17世纪（牛顿，公元1643-1727），中国的都江堰工程由李冰父子在战国时期（公元前256-251年）修建，赵州桥由李春于隋朝时期修建（公元605-618），那时还没有牛顿，这些工程怎么会利用牛顿力学。那时这几位古代贤人虽然没有从实践中提炼出牛顿力学，但是在他们设计的工程中实际上已经应用上了牛顿力学的原理，例如作用力与反作用力的原理。中国古代很早（隋朝）就发明了火药，春节元宵期间，民间放的“钻天炮”就是今天火箭的雏形，是典型的牛顿第三定律的应用范例。到了21世纪的今天，可能人们仍然需要从实验中提炼自然科学的规律，例如湍流的产生原理。

需要指出的是，对于（a）流体为什么会流动？（b）流动为什么会失稳？这2个基础科学问题，至今没有人给出什么定律或者公理。可能，我们需要牛顿第四定律，甚至牛顿第五定律。

为了顺利解决湍流的问题，作者苦苦追寻30多年，针对不可压缩流体，作者在文献[1]中的第五章给出了下面4个公理（Axiom）。

（a）公理 5.1: 在实验室系统中，如果总机械能沿流动方向的梯度小于零，则流动是可能的。

（b）公理 5.2: 在实验室系统中，如果沿着垂直于流线的方向的总机械能梯度为零，则流动是稳定的，否则可能不稳定。

（c）公理5.3: 在实验室系统中，如果沿着流线的总机械能梯度为零，则流速为零。

（d）公理 5.4: 在实验室系统中，在剪切驱动的平行流中，如果对流体单元上的剪切应力做功为零，则流动将立刻停止，速度为零。

上面的公理 5.1，5.2，5.3适用于压力驱动流动（pipe flow, channel flow, Dean flow, etc）；公理5.4适用于剪切驱动流动 (plane Couette flow, etc)。这两种情况的区别就是看看有没有外部对流体做功。有外部做功和没有外部做功是完全不同的。因为外部对流体做功可以改变流体运动的方向，可以加速或延迟流动的失稳，可以控制湍流的发展。

为什么要强调“在实验室系统中”，因为能量和做功都不是伽利略不变量，它们随着坐标系转换就不成立了。什么是公理，就是自然界被普遍认可的科学规律。公理与定理的区别是，公理是不需要证明的，也不可能证明。公理可以用实例、用计算和实验结果进行验证，但是公理不允许存在反例。定理是需要根据已有的科学规律和定理去进行逻辑证明的，定理也不允许存在反例，如果存在一个反例，那就是错的。

（2）湍流难题的解决及千禧年大奖难题的答案

我们有了上面这4个公理，流体为什么会流动及流动方向如何，流动为什么会失稳，湍流为什么能够产生，根据速度场的理论分析结果，立刻就能解决了。而且，根据这4个公理得到的定理是普遍适用的。正是基于上述4个公理，“湍流是怎么产生的”这个百年难题终于被成功地解决了[1-6]。

首先解决了湍流专家们最最急切关心的几个问题：（a）湍流怎么产生的；（b）湍流大涡怎么出现的；（c）湍流怎么从平均流动获得能量的。其次理论解释了湍流的其他若干问题，如间歇性、拟序结构、湍流自持过程、重复性、NS正则性、波涡干扰、尾迹稳定性、转捩的扰动标度律，等等 [1-6]。

因为根据窦华书建立的能量梯度理论，湍流产生必须通过奇点（速度间断）实现，而间断点不存在导数，不存在速度的解，所以在转捩流动和湍流中，Navier-Stokes方程不存在连续的光滑解（下面的定理2）。

2000年，美国Clay数学所官网所描述的千禧年大奖难题，关于Navier-Stokes方程是否存在光滑解的问题，给出的解决思路是证明或者证否流场中blowing up的发生。但是没有涉及窦华书所定义的Navier-Stokes方程的奇点（速度间断），这是因为当时人们还不知道Navier-Stokes方程中还有这类奇点的存在。现在，因为窦华书发现了这类奇点的存在，不管流场中是否有blowing up 出现，Navier-Stokes方程的光滑解是一定不存在的。此外，根据能量梯度理论得到的推论，对给定的流体及几何，只要局部速度变得很高，局部能量梯度就会很大，就会趋于发生湍流。只要发生了湍流，由于时空中奇点的出现，就不会发生局部加速到无穷大的情况，就会避免blowing up的发生。因此，在粘性流动中，blowing up发生的可能性是非常非常小的。目前的研究进展是，在数学上还没有人证明或者证否流场中blowing up的发生。基于前面的讨论，作者的看法是，证明存在blowing up 似乎是不可能的。证否blowing up 出现，是有可能的，但是即使证否成功，由于（窦华书发现的）转捩流动和湍流中速度间断的存在，Navier-Stokes方程光滑解仍然是不存在的。

作者利用所建立的能量梯度理论得到的2个最突出的重大贡献是[1，6]：

（a）定理1：湍流转捩或湍流产生的必要既充分条件是流场中出现Navier-Stokes方程的奇点（速度发生间断）(此定理在物理学上成功地解决了百年湍流难题)。

（b）定理2：对转捩流动和湍流流动，Navier-Stokes方程不存在全局定义域上的光滑解（此定理在数学上精确地回答了千禧年大奖难题）。

作者提出的能量梯度理论是唯一的一个根据NS方程预测湍流产生和解释湍流维持的理论，也是唯一的一个与所有能得到的实验数据符合一致的理论。在国际上，首次解决了湍流世纪难题湍流是怎样产生的（定理1）; 首次对千禧年大奖难题--Navier-Stokes方程的存在性及光滑性，给出了正确的答案（定理2）[1-6]。

在基础研究中和工程设计研究中，所有的湍流数值计算，所有的湍流modelling的可靠性及精确性，都应该基于对上面两个定理的理解，基于根据湍流生成原理的数值处理。

作者认为，根据能量梯度理论和Navier-Stokes方程，壁面湍流中湍流的生成机理与尾迹流动中湍流的生成机理是相同的，转捩流动中湍流的生成机理与完全发展的湍流流动中湍流的生成机理是相同的，即上面的定理1,文献[1]。

科学真理终究是科学真理，要经得起实验验证和时间的考验。

上述这是作者给博士研究生上课讲的部分内容，也是作者创立的能量梯度理论的部分内容，在其他教科书上是没有的。

参考文献

1. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer.  https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7  (全书下载地址).

2. Dou, H.-S., Energy Gradient Theory of Hydrodynamic Instability, The Third International Conference on Nonlinear Science, Singapore, 30 June-2 July, 2004. 链接如下：  https://arxiv.org/abs/nlin/0501049

3. 科学网-海森堡的第二个问题终于有了答案 - 窦华书的博文。 

https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3057857&do=blog&id=1361491

4. 新书访谈，专访《湍流的起源—能量梯度理论》作者窦华书教授。  https://mp.weixin.qq.com/s/unFxknnohDUwp11150OfZw

5. 窦华书教授成功破解了百年湍流难题，中国教育日报网。 http://chinaedutech.com/dfjy/2022/1117/1327.html

6.窦华书教授在纳维-斯托克斯方程问题上取得新进展，浙江理工大学官网新闻。  https://news.zstu.edu.cn/info/1033/41169.htm