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纳维-斯托克斯方程的正则性问题(千禧年大奖难题)的解决有何影响?

已有 1956 次阅读 2022-8-4 06:14 |系统分类:博客资讯

(1)纳维-斯托克斯方程的问题

纳维-斯托克斯方程(NS方程)的解决(这里指的是千禧年大奖问题),对自然科学和工程技术,都是具有重大意义的。首先目前可以分为3个方面的工作。

第一,证明Navier-Stokes方程的正则性(其解的存在性与光滑性),理解这类方程的数学性质,是数学理论上的一个挑战,其结果对这类偏微分方程的研究起到触类旁通的作用。 自法国数学家Leray在1934年开展这项工作以来,若干位数学家进行了80多年的研究,至今没有成功。因此,2000年,才被美国克雷数学研究所确定为7个千禧年大奖难题之一:纳维-斯托克斯方程的解的存在性与光滑性。

第二,证明Navier-Stokes方程的正则性(存在性与光滑性),这不只是一个数学问题,理解了NS方程的性质,就可以解开世纪难题湍流的秘密,就会深入理解湍流。湍流130多年来一直没有解决,其最主要原因就是,不知道湍流是怎么产生的。只有产生机理清楚了,湍流的其他所有问题的研究才能正确可靠。

第三,何为彻底解开NS方程?即使第一和第二都解决了,对理论求解NS方程的问题,仍然不会改变;NS方程的理论解(解析解)就只有那么几十个简单的层流流动的例子,湍流流动不存在理论解(解析解),湍流流动仍然需要数值解;对湍流具体问题,仍然需要计算流体力学的工具解决工程问题,更不存在计算流体力学工作者失业的问题。

据物理学家的研究,宇宙间万物皆流动,宇宙的形成,与湍流分不开,只有理解了湍流,才能真正理解宇宙。因此,纳维-斯托克斯方程(NS方程)对宇宙的研究是有重要意义的。最后,湍流的应用,遍及航空航天、地球物理、大气海洋、工业技术和日常生活等等。

(2)纳维-斯托克斯方程的正则性及湍流问题

目前,第一,纳维-斯托克斯方程(NS方程)的解的存在性和光滑性问题,已经得到严格证明,结果是解的光滑性不存在;第二,湍流产生的秘密也已经揭开,结果是湍流是由流场中的速度间断(奇点)引起;见下面链接[1,2,3] (窦华书教授,能量梯度理论)

早在2006和2008年,作者就提出了湍流转捩通过NS方程的奇点的产生来实现(APS DFD08 - 2008- 000963),而这种奇点产生是由基本流动的机械能梯度和扰动的相互作用完成的,这个结论现在已经得到了理论和实验验证 [3]。经过了三十年的研究,作者于2021年和2022年,连续发表2篇文章[1,2],分别采用了两种不同的方法,即能量梯度理论和泊松方程的分析方法,进行了精确的证明,并得到了相同的结论:Navier-Stokes方程的光滑解不存在。如果有人怀疑证明的可靠性,可以在仔细阅读的前提下,指出证明里面哪一步是不合适的。第二篇论文的4位评审专家共两轮的评审意见和作者的responses都是公开的。

对给定的时间相关的非定常三维Navier-Stokes方程,和两个平行平板间的流动(诺贝尔奖获得者海森堡1924年和著名应用数学家林家翘先生1944年研究的问题,不过他们当时研究的是二维的),流场的初值及边界条件都是光滑的,没有奇点。

对于这样的具有光滑初值的流动,如果我们能够证明,在所计算的定义域内,在足够长的时间流动演化过程中,通过流场(方程)的演化,方程的解存在,而且流场内部不会产生奇点,那么就是方程存在光滑的解 (正解)。

相反,对于这样的流动,如果我们能够证明,在所计算的定义域内,在足够长的时间流动演化过程中,通过流场(方程)的演化,产生了奇点,那么奇点处是不存在变量的导数的,那么奇点处的解就不存在。即使其他所有点上都有解,只因奇点处解不存在,就是方程的光滑解不存在 (反证明)。

对上面这个例子,作者通过第一性原理研究,发现了当雷诺数足够高时,在流动演化过程中,出现了奇点,并且得到了实验验证。这样,给出了所给问题的反证明,即Navier-Stokes方程的光滑解不存在[1,2]。作者不是只对这一个例子,对其他所有流动(如圆管流动,平面Couette流动,Taylor-Couette流动,边界层流动等),都得到了同样的结论(universal conclusion),详细情况都写在了专著中[3],已经由德国Springer出版社于2022年3月出版。这本书已经成为了Springer出版社工程和力学领域2022年最受欢迎的专著之一。

研究结果起码至少解决了2大数学物理问题:Navier-Stokes方程的解的存在性与光滑性;世纪难题湍流是怎么产生的。并经过理论与实验验证,论证了:

(a) 流场中出现的NS方程的奇点,正是湍流产生的原因。

(b) 湍流正是由流场中的大量NS方程的奇点所构成。

(c) 奇点之间的空间或者时间,正是湍流中的间歇区。

(d) 湍流的大尺度拟序结构正是流道中流向速度大尺度间断导致的奇点的流向周期表现。

(e) 湍流中奇点(速度间断)的形成,正是湍流从来流向湍流脉动传递能量的主要途径,或者说,奇点出现正是Richardson-Kolmogorov 能量级串现象里大尺度旋涡能量注入的机理; 等等。

上面这5项重要结论,其中每一项都是一个重要发现;任何一项都是一个重要研究课题,即:(a)湍流转捩、(b)完全发展湍流、(c)间歇性、(d)拟序结构、(e)大尺度旋涡生成。

(3)解决纳维-斯托克斯方程的问题后的影响

作者解决的上面2大数学物理问题:Navier-Stokes方程的解的存在性与光滑性及世纪难题湍流是怎么产生的,具有广泛和重要的影响。上述作者解答的这些一系列的问题,都是湍流领域多少年来都一致没有解决的学术难题。这样,湍流产生的物理机理清楚了,在此基础上,湍流的所有其他问题,都可以逐渐解决了,这些在不远的将来,都不是难事 [3],如可压缩流动及超音速湍流问题,湍流两相流问题,非牛顿流体湍流问题,磁流体湍流问题,海洋和大气湍流问题,湍流中的标量输运问题,天体物理学中的湍流问题,等等。在这些湍流流动中,对不同的流动问题,只不过添加了一些不同的附加因素的影响,甚至是主要影响(如弹性流动,维森堡数取代了雷诺数影响),其最后影响湍流生成及发展的核心机理没有改变,即奇点的出现。即无论对于什么湍流,湍流产生的核心问题是奇点生成。粘弹性流体流动里面的弹性力也好,磁流体流动里面的洛伦兹力也好,Stratified flow里面的密度分层也好,等等,它们对湍流的影响,都是通过加速或者延迟流动中奇点的出现来实现 [3]。

关于纳维-斯托克斯方程,今天已经得到了上述这样的结论,特别是湍流生成机理的发现,即使不能立即改变人类的生活,但对于飞机设计,飞机发动机,工业流体机械,燃烧器的效率提高和噪声降低,等等,都指明了方向。起码知道了湍流是怎么产生的,针对湍流产生的机理,可以提出非常多的湍流控制方法,例如等离子体控制等等。只要控制奇点的产生与延迟,就能控制湍流。对搞工程应用的计算流体力学研究人员,可以提出有针对性的计算格式和计算方法,就像超声速计算中怎么处理激波一样来处理湍流,提高计算效率(像计算格式中预判激波间断那样,预判湍流产生的流动参数间断。例如在5阶的WENO格式中进行优化模板),及进行针对性的分析,这些是显而易见的。

作者思路新颖,方法独特,与过去一百多年来的各种传统研究方法不同。经过30年的不懈努力,完全按照第一性原理,创造性地提出了能量梯度理论,开辟了一个完全崭新的研究方向。对流动稳定性和湍流转捩、湍流以及漩涡流动,发展并证明了一系列物理学和流体力学的基本定理 [3]。理论与实验对比表明,能量梯度理论对流动稳定性、湍流转捩以及完全发展的湍流问题是一个颠覆性的理论。解决了数学领域里 Navier-Stokes方程的存在性及光滑性问题,解决了经典物理学领域里最难的湍流是怎么产生的问题。这项研究是物理学和流体力学领域里从0到1的创新性研究成果。

参考文献

1. 窦华书教授在纳维-斯托克斯方程问题上取得新进展--浙江理工大学新闻网, 20214月。https://news.zstu.edu.cn/info/1033/41169.htm, https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2020-0063 https://arxiv.org/abs/1805.12053v10

2. 窦华书,千禧年大奖难题之一纳维-斯托克斯方程的解的存在性与光滑性的证明科学网博文,20225月。  https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3057857&do=blog&id=1337452 , https://doi.org/10.3390/e24030339

3. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy GradientTheory, 2022, Springer. (窦华书,湍流的起源--能量梯度理论,20223月, Springer https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7 全书下载地址)。




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