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如何证明勾股定理?

已有 1260 次阅读 2023-10-31 11:00 |个人分类:读书札记|系统分类:科普集锦

英国科学刊物《Physics World》曾经让读者评选“历史上最伟大公式”,最终入选的十大公式中包括著名的几何定理——勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

勾股定理,也称毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯希腊哲学家、数学家,生于约公元前570年,卒于公元前500-490年。西方学者认为,毕达哥拉斯第一个证明了该定理。但是,一位现代数学家偶然发现了一块古巴比伦石碑,表明该定理可能在毕达哥拉斯诞生前1000多年就已存在。这块石碑提出了一个类似于毕达哥拉斯定理定理的概念。数学的核心支柱之一是证明的概念。现在流传下来毕达哥拉斯定理的第一个严格证明是公元前300年前后欧几里得在其编撰的《几何原本》成书于公元前300年左右的)里给出的。

我国古籍《周髀算经》(约成书于公元前1世纪)对勾股定理有过明确记载:“若求邪至日者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日。”《周髀算经》中记载:“勾广三,股修四,径隅五”。这里也没有给出勾股定理的具体证明只是勾股三元数组的特例(在公元前1800年巴比伦人的文字泥板中,发现过有15行勾股三元数组)后来,三国时期东吴数学家赵爽在其的《周髀算经注》,利用“赵爽弦图”给出了勾股定理的精巧证明。相比欧几里得《几何原本》中介绍的方法,赵爽的证明方法更简洁、优美。“赵爽弦图”现在被称为“中国古代数学的图腾”,并曾作为在2002年北京召开的世界数学大会的会徽,2021年在上海召开的第十四届国际数学教育大会的会徽中心也镶嵌了赵爽弦图。

勾股定理现有500种以上证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一本博文介绍其中的7种,包括欧几里得赵爽、著名物理学家阿尔伯特·爱因斯坦和曾任美国总统的詹姆斯·加菲尔德等是如何证明勾股定理。

一)欧几里得《几何原本》如何证明毕达哥拉斯定理

对于直角三角形△ABC,假设其斜边ABc,两个直角边CABC分别长ab欧几里得在《几何原本》中的证明使用了下面的图形:

image.png 

首先,CAABBC为边做正方形CEFAAGIBCBJK。我们需要证明□AGIB面积=CEFA面积+CBJK面积。

过点CCL平行于AG将正方形AGIB分成两部分:矩形AGLD和矩形DLIB

连接CGBF,构成CAG和△FAB△FAB和△CAG全等(除了旋转了一个角度)

因为CAG矩形AGLD共底AG,且在平行线AGCL之间,所以,矩形AGLD面积=2CAG面积

因为FAB正方形FACE共底AC,且在平行线FAEB之间,所以FACE面积=2FAB面积

因为△FAB面积=△CAG面积,所以,FACE面积=矩形AGLD面积。GL长度为x,即

连接AJCI构成CIB和△ABJ。同理,矩形DLIB面积等于CBJK面积LI长度为c-x,即,

download.png

所以,得到:

证毕。

(二)赵爽弦图如何证明勾股定理

赵爽在为《周髀算经》作注解时,其中,530余字的“勾股圆方图”注文,给出了勾股定理证明方法。

设直角三角形的两个直角边长分别为ab,斜边长c赵爽将四个直角三角形的直角边拼在一起,形成了一个大正方形,称之为弦图。

image.png 

这个大正方形的边长为弦长c,所以大正方形的面积为

大正方形又是由一个小正方形(边长b-a),四个直角三角形(两个直角边的长度分别是ab构成的,所以面积S应该等于:

因此,得到

证毕。

(三)利用相似三角形的性质证明勾股定理

从直角三角形△ABC的直角顶点C向斜边AB画一条垂线CD,将原来的直角三角形分成两个小三角形△DBC和△DCA。假设,BCaCAbABcDBc1DAC2

image.png 

由于ABCDBC相似,即

download.png -------(1)   

由于ABCDCA相似:

-------(2)

将(1)和(2)相加,得到

因为(c1+c2)= c,得到:

证毕。

(四)爱因斯坦提出的证明方法

假设直角三角形两个直角边长是ab,斜边长c。阿尔伯特·爱因斯坦在11岁时(1890年)提出的证明方法,也是从直角顶点向三角形斜边画一条垂线,把三角形分成两部分:把斜边为a的直角三角形记为,斜边为b的直角三角形记为。把和原来的直角三角形一起排成一排,并以各自的斜边为边,画一个正方形,其面积分别为a2b2c2

image.png 

这三个图形完全相似,三角形部分与正方形部分面积比相同,假设为m。也就是说,三个三角形面积分别是ma2,mb2和mc2。由于原来的直角三角形的面积等于三角形面积之和,即

消除比例系数m,得到:

证毕。

(五)加菲尔德证明方法

1876年,英裔美国政治家、数学家詹姆斯·艾伯拉姆·加菲尔德(后来曾当选美国第20任总统),在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一种证法。

假定直角三角形ABC,斜边AB长c,两个直角边BC和CA分别长a和b加菲尔德的方法是用两个全等直角三角形,构成如下图的梯形BCEA,

image.png 

证毕。

(六)加菲尔德证明方法的变种

加菲尔德证明方法是用两个全等直角三角形摆成梯形,如果用四个全等直角三角形摆成正方形,则可以更简洁地证明。

image.png 

如图所示,由四个全等直角三角形(直角边为ab)和一个正方形(边长为c)构成了一个大正方形(边长为a+b)。因此,

证毕。

(七)一种一目了然的证明方法

最为一目了然的证明勾股定理方法,是分别用四个全等直角三角形(假设直角三角形的两个直角边长为ab,斜边长c),摆成两个正方形注意,左边的图和前面加菲尔德证明方法变种用的图一样):右边图的两个白色正方形面积之和与左边图的白色正方形面积相等也就是:a的平方加上b的平方,等于c的平方

image.png 

证毕。




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