正数是白色的， 负数是黑色的， 正虚数是红色的，负虚数是绿色的，复数是五颜六色的。 

1， 正实数， 线段相加， 矩形面积

正实数可以表示线段长度， 同一直线两个线段a 和b连接起来， 形成更长的线段， 

c = a + b

从长线段也可以剪除一部分， 我们说

a= c-b. 

用两个线段， 可以确定一个长方形， 面积为

S=ab

正方形面积自然是

S=a² . 

现在考虑边长为（a+b）的正方形面积， 

(a+b)²  = a²  +  b² + ab + ab.  

自己画一下图，很简单， 共有两个正方形，a²  和  b² ，两个长方形，ab 和 ab。 

再举个例子

100²=1000

101² = (100+1)²    = 100²  + 100*1+1*100 + 1 = 10201

现在考虑99².  为此， 再画一幅图， 再引进一个公式， 

(a-b)²  = a²  +  b² - ab - ab.  

也是有两个正方形a²  和  b² ,  两个长方形  ab 和 ab。 

于是

99² = (100-1)²    = 100²  - 100*1 - 1*100 + 1 = 9801. 

请问：这两个公式是什么关系？ 

如果在正数框架回答这个问题， 这完全是两个公式，需要画两张图，  这就很费事， 于是我们就引进了负数。 

2 实数， 线段相加， 矩形面积

如果有负数， 一个公式就管两个公式， 一个图就管两个图。而且我们喜欢第一个公式和第一张图。  

(a+b)²  = a²  +  b² + ab + ab.  

99² = (100+（-1）)²    = 100²  + 100*（-1） + （-1）*100 + （-1）（-1） = 9801

为什么一个正方形扩大时得到的面积公式， 也适用于正方形减小呢？这正是因为我们引进了负数，规定了负数的加法和乘法， 

给我们带来的方便。代数方面比较熟悉， 我们说说如何作图。 

我们说线段有长度， 是正实数， 同时， 线段分黑白两色。 

 一条白色的线， 100米长， 向前延申1米， 用白色画线，最后没有问题， 101米， 白色线， 此即

100+1 = 101；

 若用黑色画1米延长线， 这时候我就说， 等我们画完之后， 因为黑白不能相容，黑线向里移动， 和白线重叠， 把一米长的白线遮住， 当然黑色也消失了， 此即 

 100+（-1）= 99。 

相应于，

1 *1 = （-1） *（- 1）=1

1 *（-1） = （-1） * 1 = -1

我们说， 边长为一米的正方形， 面积的大小都为1，但是面积有颜色， 两个边都白或者都黑， 正方形为白色，面积为1；

 一边黑一边白的正方向要涂成黑色， 面积为-1.  

99² = (100+（-1）)²    = 100²  + 100*（-1） + （-1）*100 + （-1）（-1） = 9801

这时候， 99² 可以用101² 的图，但是颜色不同。101² 的图四片区域都是白色，99² 的图， 两个正方形为白色 ，因为两边同色；两个长方形，长为白宽为黑， 于是面积为黑色。 当黑色面积和白色面积相加时， 黑色面积和白色区域抵消， 覆盖白色面积。    

2 复数， 线段相加， 矩形面积

相应于复数基本单位1-1 i -i，我们说线段不仅有长度， 而且有四种颜色， 白黑红绿。白黑互为反色，红 （i）绿（-i）互为反色， 可以抵消， 即 

1+（-1）= 0，  

i +（-i） = 0。

同一直线上两个线段颜色不同，例如1+i， 这个两个线段会收缩合并， 最后长度为 √2 ， 颜色介于红色和白色之间 exp(iπ/4)，即 

1+i =  √2 exp(iπ/4).

除了白色红色黑色绿色被命名以为， 其他颜色， 没有名字， 用幅角表示，

3+4i =  5 exp(i arcsin(4/5))

本线段比1+i更长， 颜色更偏红。 

两端不同颜色的线段相加，形成新的一定颜色和长度的线段 

1+i  + 3+4i = 4+5i

这个叫作复数和。 

由不同颜色的边组成正方形， 颜色如下

1 *1 = 1 *1 =1 （白色）

1 *（-1） = （-1） * 1 = -1 （黑色）

1 *i = i *1 =i （红色）

1 *（-i） = （-i） *1 =i （绿色）

i*i  = （-i）*（-i）= -1 （黑色） 

重申一下最后一行的意义， 边为红色的单位正方形， 面积为黑色， 边为绿色的单位正方形， 面积也为黑色，

两个不同颜色的线段确定一个长方形，其带色面积为

S=z₁*z₂ = (a+bi)(c+di) = (ac -bd) +(bc+ad)i

或者S=z₁*z₂ = r₁exp(iθ₁)* r₂exp(iθ₂) = r₁r₂exp[i(θ1+θ2)] =rexp[i(θ)]

两有色线段确定的长方形面积为长和宽的乘积r₁r₂，

颜色是两边颜色之叠加 θ = θ₁+θ₂.

这时候， 我们说在复数范围内仍然有

(z+w)²= z²+w²+2zw

注意，  边的的叠加为有色线段叠加， 面积叠加为有色面积的叠加。

举个简单例子， 边长为1+i的正方形的有色面积为

(1+i)² = (1+i)(1+i) = 1*1+i*1+1*i+i*i  ( 白 红 红 黑  )

=2i 

（面积为2， 颜色为红）

四 波函数与电子几率密度

电子的运动， 由波函数Ψ(r, t)描写， 波函数为复数， 满足薛定谔方程， 在空间和时间上都连续变化， 这些波函数。 Ψ*Ψ称为电子出现的几率密度。从波函数Ψ 到几率密度Ψ*Ψ， 波函数位相信息丢失，简单地说， 好像是给彩色的世界照了一张黑白照片。 实际上， 不仅如此， 更像是通过 观察红烧鱼来研究鱼儿在水里如何游泳。 微观世界的波函数是生动但不可观测的， 我们观测到的信息不过是一具木乃伊。