1. 自然数， 即非负整数，  0 1 2 3 ... 是真实存在的，可以描写人， 树， 等等。 

我们可以想象一些大小相同的珠子，他们可以用细绳串成串， 两串可以连接， 这就是加法。 亦可以从长串上剪去一个小串， 这就是减法。珠子可以排成长方形， 这就是乘法； 排成正方形， 这就是自然数的平方。 

2. 正实数

正实数对应于线段长度， 两个线段可以连接， 这就是相加， 两个线段决定一个长方形， 面积是两边长的乘积。 

用千克为单位， 物质的质量m用一个正实数描写， 两个物体放一起， 质量就相加。什么时候相乘呢？ 产生的万有引力与质量相乘成正比， 单位是平方千克。 从可能性上说， 引力完全可能是质量的非常复杂的函数， 谢天谢地， 物理世界没有那么糟糕。  

3 实数

实数对应于数轴上的点。 定义数轴左边为正右边负数。实数的加法对对应于数轴上一个点的左右移动。 

同时规定数的乘法， 

1*(-1) =(-1)*1 = -1

1*1=（-1）（-1)=1

这样的规定使得y=x 和 y=-x 保持为直线， 使得单位圆的方程可以简单地表示为

x*x+y*y=1

人们发现， 电分为正负两种， 同种电荷相遇累积， 异种电荷抵消， 这和实数的加法一致，两个电荷之间的作用力，与电荷的乘积有关， 两个正电荷的排斥力和两个负电荷之间的排斥力一样。电荷是实数运算的实现。 

但是我们需要再提一句质量产生引力的问题， 质量产生的力是引力， 好像在说， 1*1=-1. 

由于月球和地球吸引，所以月球没有离开。 也可以这么想， 还有一个负质量的月球， 和地球排斥， 于是远走越远， 看不见了。  

3 复数

除了数的单位1， 定义虚数单位i，适当混合， 形成

a+bi， 

它们充满复数平面， 其上可以定义乘法， 这就使得代数定理变得很简单了， n 次方程有n个根。 

在我们的世界， 有没有复数呢？ 没有。 

假如有一天，世界上发现了一种叫复荷的东西， 有四种荷： 正荷，负荷，i荷， -i荷， 

而且他们随意组合，连续过度。 复荷用  

 a+bi

描写， 两个复荷可以相遇， 合成新的复荷。 

当两个复荷相距一定距离时， 他们的某种影响与复荷的乘积成比例。 这样的复荷发现了， 复数就是真实的。 

当今复数的应用， 有两个地方。 一个是交流电。 两个交流电流汇合时候， 总的电流是同频交流电， 满足复数加法。当交流电压U作用与电路元件Z时， 电流I=U/Z， 这是复数形式的欧姆定律。复数用于交流电， 只是一种等效的简化方法， 电压和电流应该用余弦函数表示， 计算上没有实质性的困难。光学和一般波动问题于此类似。   

复数的另一个应用是量子力学中的波函数， 在空间每一点都有一个复数值， 随时间变化。 波函数模的平方对

应于粒子出现在一个位置的机率密度。但是波函数本身是什么， 是真实存在还是辅助工具， 完全不得而知。  

还有一些在概念上和复数类似的现象， 比如一个人可以有财富， 也可以有颜值， 颜值影响收入， 收入可以用于美容。 恋人人结婚以后， 这个家庭有总的经济实力和整体颜值。 两个家庭， 可以形成某种邻里关系， 或亲近或疏远。用复数的加法和乘法来建立这样的理论， 还有很长的路。 

整数的实现是珠子， 正实数的实现是线段，实数的实现是直线和电荷， 复数的实现仅仅停留在定义它的复平面，是数学家超出现实的创造。