Laplace变换是微分方程求解的常用工具。但一般面临的问题都是正变换过得去，逆变换回不来。能够找到精确的解析形式的逆变换函数的机会很少。很多工作都是采用的数值逆变换方法。考虑到解析解多少比数值解有点优势，这里介绍两种近似解析方法，这两种方法基本可以解决很多的常见问题。第一种是已有的，第二种源于我们最近发表的文章。

对于待求的未知函数，一般而言，它的一些性质是可以提前估计的。有两类比较常见。第一类是待求函数在无穷远处可能会发生周期性的振动。第二类则是在无穷远处可能趋于一个定值。第一类问题在振动问题中比较常见，彭凡等人在《基于Fourier级数展开的Laplace数值逆变换》（力学学报，2008，40(2)，215~221，https://kns.cnki.net/kcms/detail/detail.aspx?dbcode=CJFD&filename=LXXB200802010）一文中介绍了一种将正弦展开和余弦展开相结合的方法，这里做一简单介绍。先给出以下两个前人已经给出过的展开式：

以上两个函数f(I)和f(II)中有两个待定参数c和T。c的取值利用下式确定：

当c求出后，使用f(I)和f(II)的算术平均值作为Laplace逆变换的反演结果。另一参数T的取值方法可参考原文。

对于第二类问题，待求函数在无穷远处趋于定值。抛物型方程多对应这种问题（热传导、扩散、渗流等等）。最近罗爽博士和我发表了一种方法，核心是将待反演函数利用指数分解的技巧做成一个特殊的指数函数的展开式，此阶段比较重要，因为这个特殊的指数函数的展开式的精度越高，最后反演得到的近似解析表达式的精度就越高。具体的指数函数展开方法有很多，我们自己是采用了王璆老师等人在《连续函数的一种指数逼近方法》（华东工学院学报，1993，17(1)，43-46）一文中提出的方法。然后因为这个特殊的指数函数的每一项的反演都有解析表达式，所以最终可以得到一个近似的解析表达式。具体的形式如下：

其中Cr是常数，具体的计算方法可参见原文：Shuang Luo, Fu-yao Zhao, "A Semi-Analytical Solution of Inverse Laplace Transform", Journal of Mathematics, vol. 2022, Article ID 9129727, 6 pages, 2022. https://doi.org/10.1155/2022/9129727

考虑到这种方法非常简单，并且至少在我们的算例中有不错的表现，而且这也是我的第一篇发表在JCR数学类Q1分区的SCIE收录期刊上的文章，我打算把它当成我在应用数学领域的代表性工作。这里特别感谢科学网博主李毅伟老师在我冒昧求助时，对拙文在行文方面上的很多宝贵意见！

再次强调这两类方法虽然基本可以解决很多的常见问题，但毕竟不是全部，比如移动边界问题就不太合用，至少不能直接用。