思想的天空----从一道几何问题说起

鲍海飞 2021-5-13

“线段是由点构成的，线段有长度，而点没有长度，这不是矛盾吗？”曾经有人提出这样的问题。

 分析研究物理问题的过程中，包括电学、力学等问题之时，研究到最后，你可能会发现，最难理解的不是物理模型本身，而是，其一是构成模型的内在产生或相互作用的机制问题，另一个是物理模型背后的数学问题。研究的越深入，就越发觉得数学是最最根本的问题，只有数学才能够解析物理过程。如果说物理是自然的本体或本源，那么数学就是贯穿于物理本身的神经和结构框架。比如，光的干涉过程，只有通过数学的描述，一切才变得那么清晰、自然、精彩、有说服力和有意义。

        遨游于物理与数学的殿堂，这是思想的天空。

物理之美在哪里？在于模型。模型来自于哪里？模型来自于数学。

数学之美在哪里呢？数学之美不在于它是否画出了蝴蝶曲线，或者什么爱心曲线，而是它揭示的物理内涵，反映出不同物理量之间的关系。这使得数学成为驾驭各学科的重要工具和方法。

数学中包含了理想、期望和隐喻。正弦函数，其连续光滑又无限可导，没有什么函数能够像它这样完美。傅立叶级数展开，包含了无穷谐波频率的叠加。那些时域曲线，如果不做傅立叶级数分析，你就看不见其中的奥妙。

数学之重要在哪里呢？仅从几个方面来说。首先它能给出某一物质变化过程的数量关系，比如，放射性物质衰减过程，细胞分裂增殖过程。其次，它给出了物质间相互作用和反应变化过程的数量关系，如化学反应方程式所描述的元素原子前后反应和变化。即它能够描述出物质变化的定量关系。最后，它能描述、概括和建立物理模型或其它模型，比如万有引力及其公式，麦克斯韦电磁关系。

所陈表述意味着或隐含着什么？

这其中隐含着，数学首先是一种物质和对象的抽象或抽象化的过程。这就意味着，要给出物质和其属性的符号表示，即指代。上述的放射性衰减、细胞分裂，化学反应和牛顿万有引力公式，如果没有符号的抽象表示，就无法实现。数学的符号化使得被研究客体具体化和模型化了。

数学因为提供了一种变量和因果关系，这也使得它具有更大的价值和意义。即，数学为我们带来了可预测性和设计性。这是因为，数学描述了或给出了物理内在的物理量的映射和数值对应关系。

牛顿二次微分方程，等式的左边和右边，对应了本体和客体、内与外的关系。这一方程便是内因与外因的结合体，给出了作用和响应的因果关系。数学的演绎，不是为了算出一个数，而是要得到物理演化的趋势和规律。

 物理是一个具体到抽象的过程，数学是一个演绎与推理的过程。二者构成了理想的自然国度。没有物理的数学，枯燥乏味，缺少了生机和意义；没有数学的物理，灵魂顿无，失去了力量和方向。

物理与数学的抽象，便是一道风景。物理与数学的抽象，最终又将回归到真实。

物理学的本质是几何吗？万有引力描述了质量与力和距离的关系，相互作用力与距离的平方成反比关系。库仑定律也是平方反比关系。所有的一切都是力与几何的结构关系。相对论，利用时空四个变量，构造了四维时空。

有了数学，一切就都可以描述了。但并不意味着数学是完备的和万能的，什么都能够解决。深刻与肤浅，俱是过程。实在与虚无，岂凭感知？

理想和假设是无奈之举，是一种变通之举，也是一种聪明的做法。虚数的引入，让我们能够处理根号下的负数。但也将我们对数的理解扩大和深入了，正如无理数之与有理数。还有，许多类似Delta函数等的巧妙引入，使得计算更加简洁和更具有操作性，同时也反映了物理的某种真实过程。

早期固体物理的基本理论中，没有具有5次对称性的晶体存在。1982年，以色列科学家达尼埃尔·谢赫特曼发现了具有5度轴的准晶体，人们惊讶了。理论预期中没有这种东西啊，但是自然中或人类的加工中创造出来了这种东西。这并不是说固体物理的理论不正确。这只能说，人类的认知和发现的能力本身就存在不足，理论的出发点或许就并不准确和完备。这也恰说明真理本身就是一个不断被揭示和接近的过程，没有最终，没有最美，只有在前行的道路上。

量子力学中的波粒二象性也说明了这个问题。光既有粒子性，又有波动性，一个事物的两个方面。但什么时候表现出粒子性，什么时候表现出波动性，光子本身究竟是一种怎样的物质，具有什么微观结构，马赫曾德(Mach-Zehnder)干涉仪究竟隐含着什么物理内涵，这成了当今物理学界所要揭示的一个根本问题。而薛定谔的方程和其几率波的概念，对理解微观世界量子客体之间的相互作用，提供了一种视角和解决方案，具有深刻的物理内涵，并具有相当重要的启示性。量子力学中的不确定性原理，描述了微观客体的位置和速度能否被同时精确观测的问题。对这一客观规律的实在性的认识和把握，表明人类对微观世界认识是在不断深入的过程。

数学公式的使用是有前提和条件的。比如，库仑定律，它描述了两个点电荷之间的相互作用关系，相互作用力与距离的平方成反比。该定律成立的前提条件是两个电荷之间的距离要远大于电荷本身的尺度。否则，当两个点电荷距离无限接近时，其作用力便为无穷大，该关系就不成立了。

具体与抽象，演绎与推理，天马行空的思想造就了自然哲学的大厦。

有人认为数学只是一种工具。是的，某种意义上它是一种工具，但数学更是人类抽象出来的一门科学。这使得它不是一种简单的工具，它更包含了一种思维，无论是几何，还是函数，无论欧氏几何，还是非欧几何。

自然科学的发展取决于人类的认知能力。因果性、完整性和严密性是数学的首要和根本问题。但数学本身就是人类构造的一门学问，它本身也是在不断完善和发展，它本身也是在不断追求完美的过程。

科学大厦基石的建立，来源于假想与公设，来自于因果、逻辑和推理，来源于具体、关联与抽象。没有抽象，我们永远无法确定物质与数量之间的关联。没有抽象，我们永远要用石头子来代替山羊的数量，没有抽象，我们永远要搬着手指头来计数。

    “线段是由点构成，线段有长度，而点却没有，这矛盾吗。”这个问题的本身，就是抽象与具体的关系。

地球就是一个质点，电荷就是一个电场。

但，思想的天空，并不是碧空如洗，完美无瑕，而是如夜空中飘荡的云，偶尔遮挡住了背后的繁星，使我们看不见星光，思想便迷失在那里。我们所要做的，不是为了驱散那片云，而是在其遮挡住那一片天空时，我们依然能够勾画出那片天空的繁星，光芒四射。人类依然需要理解和参悟自然的法则。

欧几里德放下了手中的石头，画出了心中的彩虹。