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保真率与量子相变
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量子相变是凝聚态物理中的一个重要课题。它指的是在绝对零温下，量子多体系统的物理学性质随着系统参量，如外场、相互作用等的改变而发生的质的变化。
在物理学中，我们对热力学相变相对比较熟悉。最常见的热力学相变大概是冰、水、水蒸气之间的相互转变。为了描述热力学相变，我们通常用自由能，熵等热力学函数来刻画物理学量的突变——即热力学函数在参数空间的奇异性；并由此建立了一套完整的描述（连续）相变的理论——建立在序参量基础上的对称破缺理论。当温度趋向于零的时候，自由能变为基态能量，其对系统参数的导数也变为基态能量对参数的导数。同样的，对称破缺理论也被应用到量子相变中去。豪无疑问，对称破缺理论相当成功。
但是，建立在能量（或自由能）展开基础上的对称破缺理论是否是我们理解相变的唯一窗口？答案却也是否定的。为了理解保真度与保真率在量子相变中的应用，让我们回到对于相变的原始理解。
相变相变，顾名思义，指的是一个状态到另一个状态的改变。比如，如果不用仪器，我们几乎无法区分一杯1.0摄氏度的水和另一杯3.0摄氏度的水，因为它们看起来几乎是一样的;但是一杯1.0摄氏度的水和一块-1.0摄氏度的冰，我们就可以一眼看出不同来。道理很简单，因为处在同一个相之中的两个物质状态比较接近，而分别处在两个不同相中的物理状态，不管它们在参数空间是多少接近（比如零下0.0001度冰与零上0.0001度水），它们却有着本质的区别。我们对这种状态之间的比较其实在潜意识中利用了信息学上的概念，就是保真度（fidelity）。
在经典物理中，保真度指的是物理学信息在物理演化过程中对原始信息的忠诚度。比如，在电子音箱系统中，音乐发烧友口中所谓的“高保真”指得就是经各种功率放大器处理后的音乐及视频信息与原始物理媒介所储存的信息的高度一致性。所以，保真度定义了两个状态之间的距离。在量子信息论中，保真度常常被用来描述一个量子态经过量子通道后与原始输入态之间的距离。数学上，保真度定义为两个物理状态的波函数的内积，所以也可理解为从一个状态到另一个状态的跃迁几率。这样，具体到量子相变之中，如果我们选取两个在参数空间相隔固定比较小的距离的物理状态，然后计算它们之间的保真度。我们期望保真度在同一个相之中，应该比较接近1.0 ，因为来自同一个相的两个物理状态比较接近。相反，保真度在相变点附近应该最大程度的偏离1.0，因为这时两个物理状态非常不一样（见下图）。基于这样一种理解，我们期望保真度在相变点附近会出现极小值或奇异性（后者一般出现在无限大系统中），这一点已经被许多工作证实。
另一方面，用保真度来研究相变有相当的随意性，这是因为保真度的计算依赖于两个状态在参数空间的微小距离。这时，我们可以把保真度在参数空间做级数展开
。
我们会发现它的零级项就是1，但没有一级导数。保真度级数展开式中的主导项是它的二级导数，被叫做保真率(fidelity susceptibility)。基态保真率在数学上可表示为
，
我们知道，基态能量的二级导数表示的是能量对驱动参量一种响应；而保真率则是状态本身对驱动参量的响应。从这层意义上，保真率似乎比能量的二级导数有更加明确的物理意义，因为它直接刻画状态本身，而不是热力学函数。
到现在为止，保真率已被证实是研究量子相变的一种有效工具，也为我们理解量子相变提供了一个新的视角。
有兴趣的朋友可参考《物理》杂志上的评述性文章，
http://www.wuli.ac.cn/ch/common/view_abstract.aspx?file_no=20100301&flag=1
如果希望进一步了解保真度在量子相变的应用这个正在发展的领域，可参考另一个评述性文章：http://arxiv.org/abs/0811.3127
https://blog.sciencenet.cn/blog-273184-308724.html
上一篇：一个经典光学中的芝诺效应的例子
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在物理学中，我们对热力学相变相对比较熟悉。最常见的热力学相变大概是冰、水、水蒸气之间的相互转变。为了描述热力学相变，我们通常用自由能，熵等热力学函数来刻画物理学量的突变——即热力学函数在参数空间的奇异性；并由此建立了一套完整的描述（连续）相变的理论——建立在序参量基础上的对称破缺理论。当温度趋向于零的时候，自由能变为基态能量，其对系统参数的导数也变为基态能量对参数的导数。同样的，对称破缺理论也被应用到量子相变中去。豪无疑问，对称破缺理论相当成功。
但是，建立在能量（或自由能）展开基础上的对称破缺理论是否是我们理解相变的唯一窗口？答案却也是否定的。为了理解保真度与保真率在量子相变中的应用，让我们回到对于相变的原始理解。
相变相变，顾名思义，指的是一个状态到另一个状态的改变。比如，如果不用仪器，我们几乎无法区分一杯1.0摄氏度的水和另一杯3.0摄氏度的水，因为它们看起来几乎是一样的;但是一杯1.0摄氏度的水和一块-1.0摄氏度的冰，我们就可以一眼看出不同来。道理很简单，因为处在同一个相之中的两个物质状态比较接近，而分别处在两个不同相中的物理状态，不管它们在参数空间是多少接近（比如零下0.0001度冰与零上0.0001度水），它们却有着本质的区别。我们对这种状态之间的比较其实在潜意识中利用了信息学上的概念，就是保真度（fidelity）。
在经典物理中，保真度指的是物理学信息在物理演化过程中对原始信息的忠诚度。比如，在电子音箱系统中，音乐发烧友口中所谓的“高保真”指得就是经各种功率放大器处理后的音乐及视频信息与原始物理媒介所储存的信息的高度一致性。所以，保真度定义了两个状态之间的距离。在量子信息论中，保真度常常被用来描述一个量子态经过量子通道后与原始输入态之间的距离。数学上，保真度定义为两个物理状态的波函数的内积，所以也可理解为从一个状态到另一个状态的跃迁几率。这样，具体到量子相变之中，如果我们选取两个在参数空间相隔固定比较小的距离的物理状态，然后计算它们之间的保真度。我们期望保真度在同一个相之中，应该比较接近1.0 ，因为来自同一个相的两个物理状态比较接近。相反，保真度在相变点附近应该最大程度的偏离1.0，因为这时两个物理状态非常不一样（见下图）。基于这样一种理解，我们期望保真度在相变点附近会出现极小值或奇异性（后者一般出现在无限大系统中），这一点已经被许多工作证实。
另一方面，用保真度来研究相变有相当的随意性，这是因为保真度的计算依赖于两个状态在参数空间的微小距离。这时，我们可以把保真度在参数空间做级数展开
。，其中HI是驱动项。显然，保真率的表达式与能量的二阶导数量
在形式上非常类似。但由于其分母上的平方项，保真率在量子相变点附近表现出更加明显的奇异性。
我们知道，基态能量的二级导数表示的是能量对驱动参量一种响应；而保真率则是状态本身对驱动参量的响应。从这层意义上，保真率似乎比能量的二级导数有更加明确的物理意义，因为它直接刻画状态本身，而不是热力学函数。
到现在为止，保真率已被证实是研究量子相变的一种有效工具，也为我们理解量子相变提供了一个新的视角。
有兴趣的朋友可参考《物理》杂志上的评述性文章，
http://www.wuli.ac.cn/ch/common/view_abstract.aspx?file_no=20100301&flag=1
如果希望进一步了解保真度在量子相变的应用这个正在发展的领域，可参考另一个评述性文章：http://arxiv.org/abs/0811.3127
https://blog.sciencenet.cn/blog-273184-308724.html
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