博文
也谈 3X+1 猜想
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看到杜立智老师的博文“解决3X+1问题的根本途径” http://blog.sciencenet.cn/blog-327757-569343.html
这个问题有很多名称，其中一个名称叫角谷猜想。还有其他类似的问题（算法不一样，但是最后都可以得到一个循环或者一个数），有个共同的名称：数学黑洞问题。
https://blog.sciencenet.cn/blog-267716-569886.html
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勾起了我的回忆，我也写一篇参加讨论，希望更过感兴趣的博主能参加到这个问题的讨论中。
先介绍一下什么是 3X+1 猜想（摘录自杜博主的博文）：输入为任意一个自然数，若该数为奇数，将它乘以3然后加1，结果继续；若是偶数，就将其除以2，结果继续，直到得到1为止。现在的问题是：是否对所有的自然数，结果都能得到1。这就是著名的3x+1问题。
这个问题有很多名称，其中一个名称叫角谷猜想。还有其他类似的问题（算法不一样，但是最后都可以得到一个循环或者一个数），有个共同的名称：数学黑洞问题。
我第一次知道角谷猜想是上高中的时候在县图书馆一本已经忘记名字的书上看到的。马上就为之着迷，并且大概8年间苦苦寻找其证明。甚至有段时间以为可以证明了。
转入正题。我当时想的证明思路和杜博主中提到解决方案有异曲同工之妙：就是试图证明对任意一个自然数 N，都可以在有限步之内得到一个比 N 小的数。
为了证明这一结论，我对自然数使用2进制的表示方式（很容易知道，上面的计算步骤用二进制来表示是很容易实现和直观的），然后根据这些二进制后若干位的情况进行分类，然后分别对每一类进行证明。当时我已经可以证明除了一类数以外，上述结果对其他的数都是成立的，都可以明确估计出小于 N 说需要的步数。这一类数中最小的一个数应该是 27，需要 96 次才能得到比他小的数 （23). 为了这个 27，我足足思考了 8 年，直到上了研究生，还是没有解决。
后来上了大学以后，有了微分方程和动力系统的观念，对这个问题有产生了新的想法。
还是使用2进制来表示整数，但是在前面加个小数点，就变成了区间 (0,1) 内的变换了，则 3X+1 问题就变成了这个变换是否在 (0,1) -> (0,1) 的一维映射的不动点问题了。但是这个映射的性质非常不好，不连续，不压缩。其动力学行为非常复杂，也没有办法研究下去。后来大概上了博士以后，在国图看到了一本书，整整一本书是在研究这个映射的。
可以当年写的很多手稿现在已经不知踪影了。借科学网这块宝地把我当年的想法记录下来，也许以后退休了还能回来研究研究，也希望能对其他感兴趣的朋友有点参考价值。
数学是美妙的，这么简单的问题，却令人着迷。
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