上一章节中(http://blog.sciencenet.cn/blog-2577109-1195363.html)，我们介绍了混合线性模型中的模型假定，这一章节，用一个动物育种的示例，介绍固定因子，随机因子以及相关矩阵的推导，明确什么是G矩阵，什么是R矩阵，以及他们和方差组分的关系。直和和直积也是重要的概念，特别是多个随机因子以及随机因子有互作时，经常用到，这里用R语言编程的形式介绍直和与直积的计算方法。

1. 混合模型公式

「混合线性模型」

• G是G矩阵，它是由随机因子方差组分 和关系矩阵A相乘而来，A由系谱构建的亲缘关系矩阵
• R是R矩阵，它是由残差的方差组分和关系矩阵I相乘而来，I为单位矩阵

「​举个栗子：」

比如这里不同场的一些个公牛（Sire）的体重（y），公牛之间是有亲缘关系的，如果要分析这个数据，公牛作为随机因子，模型为：

假定：

那么：

如果，公牛之间是由亲缘关系A的，那么：

2. 多个固定因子和多个随机因子的剖分

这里b为固定因子的效应值，加入固定因子有多个，场，年，季，性别等等，那么b 可以分解为：[b1, b2, b3,...]

X为固定因子对应的矩阵，X也可以分解为：[X1,X2,X3...]

同样的道理，随机因子和随机因子的矩阵，也可以剖分为类似的形式，比如动物模型中，除了加性效应，还可以有母体效应，永久环境效应，窝别效应作为随机因子。

3. 直和和直积

3.1 概念解释

直和（Direct sum）和直积（Direct product）是混合线性模型中经常用到的概念，下面用具体例子介绍直积和直和是如何通过R语言计算的。

比如下图中，D为22的矩阵，F为22的矩阵，那么直和就是讲D和F作为对角线，非对角线为0，构成一个44的矩阵。直积D的每个元素分别和F矩阵相乘，得到44的矩阵。

3.2 R语言实现直和和直积

「函数构建」

这里直积我们用R的默认函数kronecker，为了方便操作，我们赋予它另一个名称：direct_product。 对于直和，我们构建了一个函数，可以将两个矩阵变成直和的结果。

direct_sum<- function(mat1,mat2){
  r1 <- dim(mat1)[1];c1<- dim(mat1)[2]
  r2 <- dim(mat2)[1];c2<- dim(mat2)[2]
  rbind(cbind(mat1,matrix(0,r1,c2)),cbind(matrix(0,r2,c1),mat2))
}
direct_product <- kronecker

4. sigma参数化和gamma参数化

一般混合模型中的假定都是sigma参数化的：

这样随机效应的方差组分为sigma_g^2, 残差的方差组分为sigma_e^2.但是也有另一种表示方法，即gamma参数化。

一般，我们假定:

这样做的好处是方便指定初始值，只需要指定比例（比如根据遗传力推导）即可，很方便，这样，y的方差就变成了：

5. 参考文献

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张勤. 动物遗传育种中的计算方法[M]. 科学出版社, 2007. 吴密霞. 线性混合效应模型引论[M]. 科学出版社, 2013.

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