一类一维非均质弹性力学三维问题的

统一精确解析解研究的简介

岳中琦

中国力学学会，2019年4月1日在学会网站，发布了第六届科学技术奖初评通过的五个项目公示https://www.cstam.org.cn/article/202035.html。

我和山东科技大学肖洪天教授合作研究项目《一类一维非均质弹性力学三维问题的统一精确解析解研究》，是其中奖种为自然科学奖的三个项目之一。为此，我们由衷感谢中国力学学会和评审专家们！

弹性力学理论起源于 300 年前伽利略、胡克和牛顿时代。随着经典微积分和势场理论的发展，这套理论被包括杨氏、泊松、纳维、柯西和格林在内的数学、物理和力学家们在1830-1840 年建立。之后，众多科技人员做了大量科学与工程问题的解析解研究，以精准分析、预测和设计材料弹性和断裂力学响应。这是一项极其困难的解析数学力学研究工作。百多年来，非均质材料弹性力学边值（含混合边值）问题的以简单或特殊和谐函数表示的解析解（或简称闭合解）极少、稀有或零星发现。

自1984年至今，该项研究历时36年。

该项研究用积分变换和线性代数等数学工具，严格推导了一类一维非均质弹性力学三维边值（含混合边值）问题的15个弹性力学场变量的全区域闭合解和精确解。这类三维边值问题的弹性材料空间是全空间、半空间或有限层区域。一维非均质是指材料参数（如5个横观各向同性材料参数）仅随纵向（深度）坐标任意变化、不随横向（水平）坐标变化。

该项研究创建了一套求解一类一维任意非均质弹性力学三维问题的统一体系：用二重富氏积分变换法，发现了一组适用于三维直角和圆柱坐标系的解的矩阵积分变换表达式，发现了偏微分控制方程组的统一的两组2个和4个变系数线性一阶常微分方程组，给出了它们特殊解的统一的矩阵表达式。

该项研究创立了一套变系数线性常微分方程组解析解的精准逆传递矩阵法：采用分层均匀阶梯函数代表和逼近一般任意随纵向变化的材料参数函数，发现了求解变系数一阶常微分方程组通解和特解的精准逆传递矩阵法，获得了全场具一致收敛稳定的显示解析解和它们奇异项的显示解析渐进解。

该项研究获得了多种一维非均质弹性力学三维边值问题的新的矩阵闭合解析解：发现了大量相关边值问题位移、应力和应变场以矩阵表示的奇异项闭合解和全场项精确解、和它们之间的简明关系公式，获得了全场具任意收敛精度的计算方法和结果，证明了这些解满足所有控制偏微分方程、边界条件和层间连续条件。

该项研究构建了一类一维非均质弹性动力学、固热或固液等多场耦合理论三维初边值问题的求解框架：再用拉氏时间变换，构建了系统考虑动力、固热或固液等多耦合场效应的一类一维变系数偏微分方程组三维初边值（含混合边值）问题的求解框架和通解，获得了一些具体问题的时空域解。

该项研究取得了弹性力学理论的一维任意非均质材料偏微分控制方程组的解析解和闭合解的突破性和原创性进展，创建了一套崭新的整体矩阵解析求解体系，原创地给出了一类一维任意非均质材料弹性力学问题的奇异项闭合解，获得了大量确定边界条件的新的闭合解和精确解析解，精准定量计算与分析了不少具体科学与工程力学问题，推动了弹性力学理论等多势场耦合理论的边值或初边值问题向非均质材料的深入发展。

该项研究在非均质材料弹性力学问题上有极大的发展与应用空间。它们包括非均质材料的边界元方法与应用、功能梯度材料断裂力学混合边值问题、功能梯度材料力学与物理场耦合边初值问题、和地震成因与机理问题。该项研究也给众多力学数值计算方法提供了新的精确的数值标定基准。

相关工作可进一步参见博文《三十年磨一命名解》http://blog.sciencenet.cn/blog-240687-840328.html和《三十年磨一命名解（续）》http://blog.sciencenet.cn/blog-240687-925217.html。

2021年1月23日11:35写成于香港大学602办公室