三十年磨一命名解

岳中琦

德国于利希研究中心（Research Centre  Jülich）和美国麻省理工学院（Massachusetts Institute of Technology - MIT）的八名科研人员分别于2007和2008年，在《生物物理学报》和《物理论评E》上发表了利用弹性力学理论分析细胞力学作用的两篇论文（图1和图2）。

在这两篇论文中，他们均回顾和研究了，在现有公开发表文献中，多层弹性半空间固体在外载荷作用下的解析解。经研究，他们发现，自120年前Boussinesq解以来，Yue在1995和1996年发表、给出的数学求解方法、数学求解过程、求出的解析解最方便、最简洁、最好使用。他们命名为Yue途径、Yue处理、Yue方法和Yue解（Yue’s approach, Yue’s treatment, Yue’s method, and Yue’s solution，图3、图4）。并且，他们的试验结果也支持Yue 解（图4）。

当然，他们不会知道、也没有时间深入了解，谁是这几篇论文的Yue姓作者，他是如何做出这个解的。

当然，我知道他是谁。他花了8年时间学习数学和力学。10年时间琢磨出，这个复杂系统弹性力学问题的最简洁易懂的解析求解推导过程、最简明对称的解析解公式、和完全任意收敛和快速的数值计算方法。又过了12年，才等到他人，对他给出的解进行悉心研究、中肯评论和有效应用，且用他的英文姓命了求解过程和求出解的名。后又过了两年（2010年），他才从朋友那里知道了这个命名解之事。

1977年9月，恢复全国高考，科学的春天又来临了！刚好，在元月，他开始了在宣城中学的高中一年级学习。在马老师、郑老师、张老师、许老师、夏老师（女）、龚老师（女）、管老师、杨老师、马老师（女）、章老师（女)、李老师等老师们的精心、全力、无偿教育下，同时，在科学的春天感召下，他认认真真地学好了高中数学、物理和化学。在1979年夏天，他参加了第一次全国统一试卷高考。根据高考成绩，他极其荣幸地被北京大学地质学录取，攻读地震地质专业。四年后（1983年），他又考上了王仁先生的硕士研究生，研究方向是地球构造动力学。

当时，在王仁先生的领导下，北大地震地质专业强调地质学和力学的有机结合，来研究地震的成因机理和预报。因此，对本科生和研究生的数理力学有较高的要求。因此，除了经典地质与地球物理课程外，他学了不少数学、力学、地震学科程，培养了严密精确的数学力学思维能力。选修的课程包括高等数学（微积分、常微分方程、势论场论）、线性代数、偏微分方程、泛函分析、实变函数、应用数学、计算方法、有限元、固体力学、弹性力学、理论力学、连续介质力学、断裂力学、高等地震学、和岩石力学。特别地，他荣获了北京大学1982年度数学竞赛第一名（化学类）（图5）。

在1984年，王先生认为他的数理基础好，就将地下采煤层引起地表位移问题设为他的硕士论文研究课题。王先生又安排了丁中一老师和王敏中老师具体指导他的工作。这个课题起源于中国煤炭科学研究总院的李增琪先生。李先生是1957年北大数学力学系力学专业毕业生，多年来一直研究地下采煤引起地表位移课题。1984年，李先生来北大向王仁先生请教，多层弹性力学问题的解析求解的一些数学难题。

在多位数学力学大师们的指导下，他很快地了解和掌握到本课题的力学数学关键点，踏入多层弹性力学半空间问题的研究前沿，对本课题做出了较为深入的、具一定创造性的研究[图6]。

他的硕士论文工作被地质学系推荐到《北京大学学报（自然科学版）》发表（图7），同时获得了200元稿酬。这相当于他1988年两个月的工资数额。  

当今数学弹性力学大师，王敏中老师，在1986年他的硕士论文答辩时，明确地指出，这项硕士论文工作仅仅给出了一个以带参数的、二维广义积分表示的、形式上的解。这个解是否满足所有偏微分方程和边界条件呢？它是否收敛呢？解的奇异性是如何呢？换句话讲，这项工作仅仅是万里长城的第一步，需要做的工作还很多，且相当困难。因此，1986年7月硕士毕业后，他一直利用业余时间，精心尽力地思考和琢磨这个以二维广义积分表示的解。直到1995和1996年，他用英文在《弹性力学学报》、《国际工程科学学报》、《力学与应用数学季刊》、《国际固体和结构力学学报》和《工程力学学报》等发表了一些列相关论文，精确完备地解决了这些数学难题（图8-图11）。

与此同时，加拿大交通部主管机场跑道的有关工程师，了解了他的研究成果，认为在加拿大是罕见的（unique in Canada）。他们在1995年和1996年，给了他两项研究合约。合约要求他，利用他建立的解析解和相关计算程序，参与建立机场跑道弹性层理论模型和相关设计准则的研究项目。为此，他做了大量弹性层道面应力与变形的计算与分析工作。（2015年4月7日补充）

弹性力学理论，是在利用Hooke（胡克）定律耦合每点变形与应力基础上，来预测一个弹性固体，在某种边界或内部加载条件下的固体内部和边界上各点应力和变形响应。胡克定律是英国博物学家、发明家Robert Hooke（1635-1703）提出的描述材料弹性的基本定律。Hooke还提出了万有引力的距离平方反比关系，设计制造了真空泵、显微镜、望远镜和万向接头，并将自己用显微镜观察所得写成《显微术》一书。Hooke 命名了cell“细胞”。常听说的，“牛顿站在巨人肩膀上”中的巨人可能就是胡克。

三百多年来，很多力学和数学工作者对这弹性力学理论作了大量的研究和贡献。被称为热力学之父的英国数学物理学家William Thompson开尔文男爵（1824-1907），在1848年发表了，在均匀线弹性体全空间内部的一个点载荷引起的应力和位移响应的Kelvin解。法国数学和物理学家Joseph Valentin Boussinesq（1842-1929），在1885年发表了，在均匀线弹性体半空间表面的一个垂向点载荷引起的应力和位移响应的Boussinesq解。美国力学家Raymond David Mindlin（1906-1987），1936年在美国物理学会《应用物理学报》发表了，在均匀线弹性体半空间内部的一个点载荷引起的应力和位移响应的Mindlin解。这些解都是用简单奇异谐和函数表示的。它们的奇异性可直接表述。这三个奇异基本解构成了不少工程学科的理论解析基础（特别是岩土工程的解析受力与变形分析）。

后来，人们进一步注意到，自然界和工程领域存在很多固体材料仅在水平方向上均质，而在深度方向是不均质的。它们的材料性质和弹性参数是随深度变化的。此变化可能是连续的，也可能是间断连续的。这种非均匀介质材料包括地下岩土体、公路路面、机场跑道、生物骨质、竹子、涂料面层和现在的人造功能梯度材料。长期以来，人们已认识到材料性质和参数随深度变化可以增加材料性能和减少造价成本。D.M. Burmister 教授在1943和1945年发表了，层状弹性体在表面垂向轴对称载荷作用下的以广义积分表示的解，以应用于车轮载荷道路结构设计。之后，包括胡海昌院士（1954年，物理学报）、张佑启院士（1979年）和丁浩江教授（1983年，固体力学学报）在内的不少中外科技人员对此项课题作了大量的研究。他们给出的都是广义积分表示的解（或近似解），解的表达式极其复杂，都没有或无法系统地分析和研究解的奇异性和收敛性等。

他推导出了，在三维直角坐标系和圆柱坐标系中，此项空间边值问题解析解的简洁统一数学表达式（图10、图11）。他论证了此解满足弹性力学基本偏微分方程组和所有的边界和层面条件，给出了此二重无限域含参数广义积分表示的解的奇异性，实现了得到这个解的任意精度结果的计算方法和计算程序。对于一些特定条件下的弹性力学空间问题，可以给出它们的以简单谐和函数或特殊谐和函数表示的闭合解。在均匀全空间或半空间中，他给出的解就立即自动地、解析地退化到Kelvin解、Boussinesq解或Mindlin解。 

通过以上介绍，我们或许可以这样讲，这项纯数学力学研究成果凝结了北京大学数学力学三代人、半个世纪的智慧和心血。它也表明宣城中学数学物理的高质量教学。

在另一方面，这项纯数学力学的长期研究也锻炼了他、培养了他的数理逻辑、解析分析、综合分析、推理归纳、演绎判断和简洁表述的能力。这使得他能够从极其复杂条件和环境中，找到、发现和论证它们当中可能存在的最基本科学规律。这使得他在后来的多项科研和工程项目中，能够做出具原始创新的成果。
今天，我把这个故事写出来，放入科学网，以表达他对王仁老师、丁中一老师、李增琪老师、王敏中老师、修宝坤老师、刘锡大老师、贾晋康老师、蔡永恩老师等北大老师们，和马人宏老师、郑政老师、张增宇老师、龚孟明老师、夏婵老师等宣中老师们的感激之心、感恩之情、和永恒友谊。也表达他对宣中和北大本科和硕士同学同窗的感谢。

图12是王敏中老师、他、他的儿子三人，2014年7月23日在北大附近的合影留念。

图13是他同他的中学物理老师马人宏和师母在2013年1月6日合影留念。

相关论文

1. 岳中琦, 1986. 《N层横观各向同性的弹性层和弹性半空间问题的解析解》. 硕士学位论文, 北京大学地质学系

2. 岳中琦,1987. 多层横观各向同性弹性体动力学问题的解.《全国第二届地震工程学术会议论文集》，地震出版社，武汉

3. 岳中琦, 王仁, 1988. 多层横观各向同性弹性力学问题解析解，《北京大学学报-自然科学版》，券24，页202-211

4. Yue ZQ, 1988. Solutions for the thermoelasticproblems in vertically inhomogeneous media, Acta MechnicaSinica (English Edition), 4: 182-189

5. Yue ZQ, 1995. On generalized Kelvin solutionsin multilayered elastic media, Journal of Elasticity,40(1): 1-44

6. Yue ZQ, 1995. Elastic fields in two joinedtransversely isotropic solids due to concentrated forces, International Journal of Engineering Science,33(3): 351-369

7. Yue ZQ, 1996. On elastostatics ofmultilayered solids subjected to general surface traction, Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics,49(part 3): 471-499

8. Yue ZQ, 1996. Elastic field for aneccentrically loaded rigid plate on multilayered solids, International Journal of Solids and Structures,33(27): 4019-4049

9. Yue ZQ, et al., 1996. Closed-form fundamentalsolutions for transversely isotropic bi-materials with inextensible interface, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 122(11): 1052-1059

10. Yue ZQ, 1996. Closed-form Green’s functionsfor transversely isotropic bi-solids with a slipping interface, Structural Engineering and Mechanics, An International Journal,4(5):  469-484

11. Yue ZQ, et al., 1998. Backwardtransfer-matrix method for elastic analysis of layered solid with imperfectbonding. Journal of Elasticity, 50:109-128

12. Yue ZQ, etal., 1999. Computation of point load solutions for geo-materialsexhibiting elastic non-homogeneity with depth, Computers andGeotechnics, 25: 75-105

13. Yue ZQ, et al., 1999. Layered elastic modelfor analysis of cone penetration testing. InternationalJournal for Numerical & Analytical Methods in Geomechanics, 23:829-843

14. 岳中琦, 2004. 多层与梯度非均匀材料弹性力学问题解析解的简明数学理论，岩石力学与工程学报，券23，期17，页2845-2854

15. Yue ZQ, 2004.Exact solution for a heterogeneous elastic solid, Proceedings of  International Conference on HeterogeneousMaterial Mechanics, Chongqing, China, June 21 to 26, 2004. p.215-215. (fullpaper in CD Rom No. 138).

16. Yue ZQ, 2005. Closed form Green’sfunctions in bi-materials, Proceedings of Abstracts of the Chinese Congressof Theoretical and Applied Mechanics, Beijing, August 26-28, 2005. Vol.1,pp. 747

17. Yue ZQ, et al., 2005. Stresses and displacements of a transverselyisotropic elastic halfspace due to rectangular loadings, Engineering Analysis with Boundary Elements, 29 : 647-671.

    2014年11月1日16：00写成于香港大学黄克兢楼办公室

    2019年2月7日18：00改“冠名”为“命名”

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