每期文章评述的首发平台是微信公众号：近场动力学PD讨论班，也可以搜索微信号：peridynamics，或扫描文末的二维码加入。

2020年2月下期近场动力学领域有六篇新文章上线。本期有三篇文献都是讨论数学相关的内容，包括数值离散框架（文一），高效数值算法（文二）与非齐次边界条件（文六）。另一篇是有关细观力学中的广义Mori-Tanaka方法的讨论（文四）。还有两篇讨论了重力坝受冲击破坏的模拟（文三）以及增材制造钛合金晶粒取向对裂纹尖端场的影响（文五）。值得指出的是，我们在另一篇推文中已经对文一进行了更详细的介绍：哥大团队PD数值分析研究获SIGEST论文奖。下面我们依次简要介绍：

文一：

https://doi.org/10.1137/19M1296720

参数化问题稳健离散化的渐近兼容框架并应用于非局部模型

在自然界中，许多问题的特性表现在参数，它们的参数既可以是固定的值，也可以趋于渐近的极限。工程实践中亟需在以上两种情形下都收敛的数值格式，该格式能提供稳健的离散化。本文最初发表版本中所提出的针对一类参数化问题的渐近兼容格式可以实现此目标。本文严谨地建立了抽象数学框架的一个扩展版本，并将其应用于非局部模型及其局部极限的数值求解。特别地，该框架可以应用于非局部扩散模型和一种由近场作用半径参数化的广义常规态型近场动力学系统。最近的研究发现，当近场作用半径与离散化参数成正比时，非局部模型的离散化存在一定的风险。因此，本文希望为这样的模型发展渐近兼容的方案，以便为涉及多尺度上的非局部相互作用的问题提供稳健的数值离散化。就这点而言，通过细致分析相关的一致性有限元离散，本项工作提供了新的见解，并发现在最小正则性的假设下得到的精确解是有效的。结果表明，对于所考虑的非局部模型及其局部极限，只要有限元空间包含连续的分段线性函数，伽辽金有限元逼近总是渐近兼容的。对于分段常数有限元，只要离散化（网格）参数的减小速度比模型化（近场作用半径）参数的减小速度快，在任何情况下都可以得到正确的局部极限解。这些结果可用于指导今后非局部问题的计算研究。此外，本文还讨论了一些应用，比如非局部模型的分数阶偏微分方程极限，与其他的开放问题。

图：渐进相容框架及收敛关系图。

文二：

http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10422-1020009315.htm

几类分数阶偏微分方程及近场动力学模型的高效数值算法及应用研究

与经典的整数阶偏微分方程不同，分数阶偏微分方程和近场动力学模型都具有非局部的特性，其相应的数值离散会产生稠密甚至是满的系数矩阵或者在时间上具有历史依赖性。作者们以Riesz空间分数阶扩散方程为例来说明这些问题，对其进行数值离散后导出的矩阵为满阵，需要O(N^2)的内存单元来存储系数矩阵，其中N为空间未知量的个数。同时，如果使用直接解法如高斯消去法对矩阵求逆，则相应的计算量为O(N^3)。若我们使用Krylov子空间迭代算法求解，则在每一迭代步里需要O(N^2)的计算量计算矩阵和向量的乘积，但是其内存需求依然为O(N^2)。这些困难都是在处理整数阶偏微分方程时不曾遇到的，尤其在面对大规模或者高维问题时更为突出。

本文主要研究了分数阶偏微分方程及近场动力学模型的高效数值算法及其在相场模拟、断裂力学中的应用。在论文的第二章，对一维稳态的键基近场动力学模型，作者们提出了一系列快速的间断Galerkin有限元(DG)方法。更精确地说，为了处理位移在网格节点处发生间断的情形，作者们在局部加密网格上提出了一种预处理的快速分片常数DG方法。除此之外，作者们还在一致剖分网格上发展了一种快速的预处理分片线性DG方法，这种方法在处理位移场在计算节点处发生跳跃间断的情形时具有二阶精度，否则只有半阶精度。基于这两个结果，作者们又给出了一种快速的杂交DG格式去处理位移场在网格单元内部发生跳跃间断的情况。在不含跳跃间断的网格单元，作者们使用网格步长为h的分片常数DG格式，而在含有跳跃间断的网格单元，则使用网格步长为h^2的分片线性DG格式，所以杂交DG格式在整体上具有一阶精度。数值实验显示这些方法可以有效的提高数值模拟的精度和效率。

图：位移场随着时间的演化图。

文三：

https://doi.org/10.1007/s11012-020-01138-w

基于改进共轭键的混凝土重力坝冲击破坏的近场动力学分析

客观准确描述子弹侵彻对大坝的冲击损伤是一个重要而又困难的问题。为了利用键型近场动力学分析多重裂纹扩展和断裂的优势，本文建立了一个修正的双微模量共轭键型近场动力学模型，用于分析典型混凝土重力坝的拟静态变形和弹体冲击损伤。共轭键型近场动力学中的非局部相互作用力不仅与键的相对法向拉伸有关，还与一对共轭键的一系列相对转角有关。该模型可视为同时考虑拉伸弹簧和旋转弹簧，因此它可以突破原始键型近场动力学模型由于中心成对相互作用而造成的固定泊松比限制。此外，与原始共轭键型近场动力学模型相比，切向键力和转动应变能密度的定义明显不同，但不会因不同的几何离散化而变化；此外，还引入了与键长相关的衰减核函数，以反映随着材料点之间距离的增加而减小的远程力。最后，通过对大坝坝顶中心高速射弹冲击破坏的分析，验证了近场动力学方法模拟射弹冲击破坏的有效性。

图：GBU-28弹体侵彻混凝土重力坝二维计算模型示意图。

图：速度v=400m/s的高速弹丸侵彻过程：(a) t=0.5ms, (b) t=1.0ms, (c) t=2.0ms, (d) t=3.0ms, (e) t=4.0ms, (f) t=5.0ms, (g) t=7.5ms, (h) t=10.0ms。

文四：

https://doi.org/10.1007/s42102-019-00023-9

近场静力学与随机结构复合材料微力学中的广义Mori-Tanaka方法

本文考虑一种统计均匀的随机介质，它们具有键型近场动力学的材料属性（见Silling,J Mech Phys Solids 48:175–209, 2000）。当一种介质承受远端的均匀体积边界载荷时，人们证明了这种介质的有效行为可以由传统的有效本构方程来描述的，而本构方程是局部弹性理论里固有的。大多数情况下，在传统的复合材料弹性力学中所采用的常用工具和概念也同时适用于近场静力学材料，即从材料属性中提取基体材料的一个组分。有效的性质模量是通过引入的局部应力极化张量来表示的，该张量是在扩大的夹杂相上而不是在整个空间中平均得到的。基于颗粒的体积分数较小并且可以忽略它们之间的相互作用，人们针对近场静力学材料提出了一种广义稀释近似方法。作为一种经典方法，广义Mori-Tanaka方法中的基本假设是，每个扩大的夹杂在无限大的基体中表现出一个孤立夹杂的行为，并承受与截断基体中的平均应变一致的有效应变场的影响。本文针对一维情况比较了稀释近似方法和广义Mori-Tanaka方法的数值分析结果。

图：相对有效模量E^*/E^(0)相对于c的计算值：(1) 式92取l_δ/a=0.0计算结果，(2) 式91取l_δ/a=0.0计算结果, (3) 式82取l_δ/a=0.25计算结果, (4) 式81取l_δ/a=0.25计算结果, (5) 式83取l_δ/a=0.25计算结果。

文五：

https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2020.102555

增材制造钛合金的尖端裂纹场的晶粒取向效应：近场动力学研究

本文提出了一种基于近场动力学的宏观描述方法，用以描述α相增材制造钛合金中的晶粒取向效应，并展示了裂纹尖端场晶粒取向效应的近场动力学仿真结果。所提出的方法通过引入各向异性的近场动力学参数来描述晶粒取向效应，并随后通过应变能密度对该参数进行校核。然后分别模拟了单晶模型和多晶模型中的静态裂纹尖端场以及多晶模型中分叉裂纹的尖端场，对模拟结果进行了详细分析并与实验观察结果进行了比较。最后，本文对此问题进行了一些讨论并指明了作者们未来的研究方向。本文所提出的方法可能有助于发展一种揭示晶粒特征、裂纹尖端场和裂纹扩展行为之间相互作用关系的方法。

图：(a) 单晶模型的几何形状; (b) 多晶模型的几何形状; (c) 具有多晶微观结构的单边切口拉伸试样的几何形状，黑色虚线矩形表示观察区域。

图：(a) 单晶模型裂纹尖端的应变场：φ=0°，45°，90°；(b) 沿裂纹参考线上材料点的冯米塞斯等效应力：φ=0°，30°，45°，60°，90°。

图：(a) 裂纹扩展过程，沿裂纹路径的晶粒方向，以及根据不同裂纹长度的裂纹尖端冯米塞斯应变场; (b) 观察到的裂纹分叉和DIC技术测量的裂纹尖端冯米塞斯应力。

文六：

https://doi.org/10.1007/s42102-019-00022-w

非局部问题中的非齐次局部边界条件

本文旨在提供一种在一维非局部问题中施加非齐次局部边界条件的综合方法。在先前的工作中，作者们提出了具有齐次边界条件的新型控制算子。在此，作者们将构建方法拓展到非齐次边界条件。算子的构建受近场动力学的启发。该算子在大部分域中和常规近场动力学算子一致并同时施加了狄利克雷（Dirichlet）或纽曼（Neumann）边界条件。作者们系统地介绍了如何构建施加在局部边界条件上的强迫函数以及他们和初始值的关系，提出了齐次和非齐次边界条件的精确解，并利用由此产生的误差来验证数值实验。作者们详细地解释了希尔伯特-施密特性质在施加局部边界条件中起到的关键作用。对于纽曼边界条件，作者们使用了一种插值策略，以便从其导数中找到强迫函数的合适值。作者们还提出了未知解的数值实验，并展示了计算出的位移和应变场。

图：δ=2^-1的单变量核函数C(x)。

图：未知解迪利克雷问题的近似位移值 u^D(x,t), δ=2^-6, 2^-8, 2^-10, h=2^-10, Δt=0.95x10^-3, （左图）内核函数采用C_1(x)，（右图）内核函数采用C_2(x)，s=1。

—————————————————————————————————————————————

近场动力学(PD)理论是国际上刚兴起的基于非局部作用思想建立的一整套力学理论体系，用空间积分方程代替偏微分方程用以描述物质的受力情况，从而避免了传统连续力学中的微分计算在遇到不连续问题时的奇异性，所以特别适用于模拟材料自发地断裂过程。然而，因为近场动力学的数学理论内容丰富且与传统理论差别较大，目前的相关文献又以英文表述为主，所以很多朋友在一开始学习时会遇到一些困难。因此，我于2016年9月建立了此微信公众号（近场动力学讨论班），希望通过自己的学习加上文献翻译和整理，降低新手学习近场动力学理论的入门门槛，分享国际上近场动力学的研究进展，从而聚集对近场动力学理论感兴趣的华人朋友，为推动近场动力学理论的发展做一点儿贡献！

每期文章评述的首发平台是微信公众号：近场动力学PD讨论班
也可以搜索微信号：peridynamics

或扫如下二维码加入公众号：