在数理逻辑中，康托尔定理指康托尔（Georg Cantor，1845—1918）提出的关于无限集的理论，虽然这项工作已经成为经典集合论的一个标准内容，但它在几个方面一直受到了数学家和哲学家的批评。

一，康托尔定理

康托尔定理指在ZFC集合论中任何集合A的幂集（所有子集的集合）的势严格大于A的势，此结论对于有限集合是明显的（有限的集合的幂集的个数为集合个数 n 的 2^n），但是令人惊奇的是它对于无限集合也成立。康托尔同时证明了，可数无限集合生成的幂集是不可数无限集合，以此创造出不可数无限的概念。

二，康托尔的论证：“对角线法”

康托尔在1874年发表了第一个关于无限集可以有不同势的证明，这个证明使用了实数的有界增加序列有一个极限的定理，这可以通过使用康托尔或理查德-戴德金的无理数的构造来证明。由于克罗内克（Leopold Kronecker，1823-1891）不接受这些构造，康托尔被激励着去开发一个新的证明。

1891年，他发表了“一个更简单的证明……它不依赖于考虑无理数”，在其证明中提出了著名的“对角线法”，论证存在一个无限集，其元素数量（或更大的势）大于自然数集N={1，2，3，…}。这个更大的集合由元素(x1, x2, x3, ...)组成，其中每个xn不是m就是w。这些元素中的每一个都对应于N的一个子集，即元素(x1, x2, x3, ...)对应于{n∈N: xn = w}。所以康托尔的论证意味着，N的所有子集的集合的势大于N。

三，论证的接受情况

最初，康托尔的理论在数学家和（后来的）哲学家中是有争议的，正如克罗内克声称的那样，“我不知道在康托尔的理论中什么占主导地位—哲学或神学，但我确信那里没有数学。”许多数学家同意克罗内克的观点，认为完成的无限可能是哲学或神学的一部分，但它在数学中没有适当的位置。逻辑学家霍奇斯（Wilfrid Hodges，1941-）曾评论过为驳斥这个“无害的小论点”（即康托尔的对角线论证）而投入的精力，他问道： “它对任何人做了什么，使他们对它感到愤怒？”数学家费弗曼（Solomon Feferman，1928-2016）曾提到康托尔的理论“根本与日常数学无关”。

在康托尔之前，“无限”的概念常常被当作一个有用的抽象概念，帮助数学家对有限的世界进行推理；例如，在微积分中使用无限的极限情况。无限被认为最多只是一种潜在的存在，而不是实际的存在。我们所称的无限只是创造新物体的无尽可能性，无论已有多少物体存在。高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）对这一问题的看法可解读为“无限性只不过是一个帮助我们谈论极限的言语形象，完成的无限的概念不属于数学。” 换句话说，我们接触无限的唯一途径是通过极限的概念，因此，我们决不能把无限集当作它们的存在与有限集的存在完全可比的。

康托尔的想法最终在很大程度上被接受，得到了希尔伯特等人的大力支持。希尔伯特预言说“没有人会把我们赶出康托尔为我们创造的天堂。”对此，维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein，1889年—1951）回答说：“如果一个人可以把它看作是数学家的天堂，为什么另一个人不能把它看作是一个笑话呢？ ”对康托尔的无限性思想的否定影响了数学流派的发展，如构造主义和直觉主义。

维特根斯坦并没有全盘反对数学形式主义，但对康托尔的证明意味着什么有一种有限主义的看法。这位哲学家认为，对无限性的信仰来自于混淆了数学规律的扩展性和集合、序列、符号等的扩展性。在他看来，一系列的符号是有限的： 用维特根斯坦的话说 "......一条曲线不是由点组成的，它是一条点所服从的规律，或者说，是一条可以构建点的规律。"他还将对角线论证描述为“胡闹”，没有证明它所声称的内容。

四，对无限性公理（axiom of infinity）的反对意见

对康托尔的无限理论的一个常见的反对意见涉及到无限性公理。梅伯里（John Penn Mayberry，1939 – 2016）指出：

“… the set-theoretical axioms that sustain modern mathematics are self-evident in differing degrees. One of them—indeed, the most important of them, namely Cantor's Axiom, the so-called Axiom of Infinity—has scarcely any claim to self-evidence at all …”

“……支撑现代数学的集合理论公理在不同程度上是不证自明的。其中一个—事实上，其中最重要的一个，即康托尔公理，即所谓的无限公理--几乎没有任何自证的要求......”。

另一个反对意见是，通过与有限集的类比来使用无限集没有得到充分的证明，韦尔（Hermann Weyl，1885—1955年）写道：

“… classical logic was abstracted from the mathematics of finite sets and their subsets …. Forgetful of this limited origin, one afterwards mistook that logic for something above and prior to all mathematics, and finally applied it, without justification, to the mathematics of infinite sets. This is the Fall and original sin of [Cantor's] set theory …”

“…古典逻辑是从有限集及其子集的数学中抽象出来的.... 由于忘记了这一有限的起源，人们后来把这种逻辑误认为是高于所有数学的东西，并最终毫无道理地把它应用于无限集的数学。这就是[康托尔]集合论的堕落和原罪……”。

参考文献：

https://en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor%27s_theory