柳渝：“停机问题”是谁提出来的？

ChatGPT: 停机问题是由数学家和逻辑学家艾伦-图灵在1936年首次提出的。在他的开创性论文 “On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem” 中，图灵表明，一般来说，不可能确定一个任意的算法是否会停机或永远运行。这一结果后来被称为停机问题，并被认为是计算机科学和计算理论的基本结果之一。

柳渝：但在图灵的开创性论文《论可计算数，以及对Entscheidungsproblem的应用》中，停机问题一词从未出现。

ChatGPT: 你是对的。虽然阿兰-图灵的开创性论文《论可计算数，以及对Entscheidungsproblem的应用》提出了Entscheidungsproblem（判定问题）的一般算法解决方案是不可能的概念，但他并没有在论文中使用“停机问题”一词。

后来，其他计算机科学家和数学家在图灵的工作基础上引入了“停机问题”这一术语，特别是在编程语言的发展和形式语言与自动机的研究中。这个词现在被广泛用于指确定一个给定的算法是否会停机或无限期运行的问题，正如图灵在他的可计算性理论工作中首次探讨的那样。

柳渝：图灵在1936年的论文中对他所考虑的问题表述如下：

« a problem concerning a general process for determining whether a given integer n has a property G(n) [e.g. G(n) might mean ‘‘n is satisfactory’’ or ‘‘n is the Godel representation of a provable formula’’], and this is equivalent to computing a number whose n-th figure is 1 if G(n) is true and 0 if it is false. »

你认为停机问题和图灵考虑的问题是等价的吗？

ChatGPT：虽然停机问题和图灵在其1936年的论文中考虑的问题有一些相似之处，但它们并不等价。图灵的问题关注的是确定一个给定的整数是否具有某种属性的一般过程，而停机问题具体关注的是确定一个给定的算法是否会停止或无限期地运行。

然而，图灵在可计算性理论和Entscheidungsproblem方面的工作为停机问题概念的发展奠定了基础。特别是，图灵对Entscheidungsproblem的不可解性的证明表明，有某些类型的问题是无法用任何算法解决的。这一结果被后来的计算机科学家和数学家们扩展，将停机问题作为可计算性理论中的不可判定问题之一。

柳渝：在图灵的论文中， “可计算数”是一个重要的概念，正如其标题“论可计算数，以及对Entscheidungs问题的应用”所示，但“可计算数”一词从未在可计算性理论中出现，为什么？

ChatGPT：你是对的，“可计算数”这个术语是图灵1936年论文的核心，但它并不是现代可计算性理论中常用的一个术语。原因是“可计算数”的概念与图灵最初用“可计算函数”来定义可计算性的方法紧密相连。

图灵最初的表述中，如果有一个算法过程可以用来计算任意精度的数，那么一个数就被认为是“可计算的”。这种方法后来被概括为“可计算函数”的概念，即一个可以通过算法过程计算的函数。

然而，人们很快意识到，还有其他更普遍的方法来定义可计算性，而不依赖于算法过程或“可计算数”的概念。其中一种方法是丘奇的λ计算，它被证明在表达能力上等同于图灵机。

因此，现代可计算性理论一般都避免使用“可计算数”这一术语，而采用“可计算函数”、 “递归函数”或“图灵可计算函数”等更普遍的概念，这些概念可以用各种不同的形式和方法来定义。

柳渝：在图灵的论文中，还有一个术语circle-free从未在可计算性理论中出现了，为什么？

ChatGPT：你是对的，"circle-free machine « 这个词出现在图灵1936年的论文中，但它并不是现代可计算性理论中常用的一个术语。

其原因是，"circle-free machine "的概念是图灵用来形式确定其可计算性方法的一种特定类型的图灵机。 circle-free machine是一种图灵机，其中的过渡图不包含任何循环，这确保了机器总是在任何输入上停止。

虽然circle-free machine的概念对于理解图灵对可计算性的最初表述是有用的，但对于现代可计算性理论来说，它并不是必需的，因为现代可计算性理论已经发展出一系列更普遍和抽象的概念来形式化可计算性的概念。

特别是，可计算性理论的现代方法通常使用图灵机的更抽象的定义，不对过渡图的结构施加任何具体约束。这使得可计算性的定义更加灵活和概括，不局限于特定类型的机器或计算模型。

柳渝：可计算性理论中的可计算性的定义是什么？

ChatGPT：在可计算性理论中，可计算性是用一个叫做“可计算函数”的数学概念来定义的。

如果存在一个算法过程，可以在有限的时间内对任何输入的x计算出f(x)的值，那么这个函数f(x)就可以说是可计算的。换句话说，如果一个函数可以被一个算法过程用有限的步骤计算出来，那么它就是可计算的。

可计算函数的概念可以用各种计算模型来形式化，比如图灵机、递归函数或lambda calculus。这些模型提供了定义算法过程概念的不同方式，但就其表达能力而言，它们都是等价的，也就是说，任何可以由这些模型之一计算的函数也可以由其他模型计算。

可计算性的概念在计算机科学和数学的许多领域都很重要，因为它提供了一个关于什么可以和什么不能被算法过程计算的精确定义。它也是理论计算机科学中许多重要结果的基础，比如停机问题的不可判定性和哥德尔的不完全性定理。