关于“哥德尔的不完全性定理”的讨论 - 2022/4/25 - 26 

Druuh：

@柳渝，我想你可能混淆了命题计算与谓语计算。

在数理逻辑中，命题计算为复杂公式中的每个基本命题分配一个真值（真或假，0或1），而复杂公式的值由布尔代数的计算决定（0 AND 1=0，0 OR 1=1，等等）。我想，当你提到“真”的概念时，这就是你所指的。

然而，哥德尔定理的框架不是命题逻辑，而是谓词逻辑。哥德尔所说的公式是谓词计算的一个公式。这些公式与命题公式不同，涉及变量和量词。它们本身没有真值，而是与结构有关：同一个公式在一个结构中可能是真的，但在另一个结构中却不是。

公式 "对于任何x，对于任何y，xy=yx « 在换元群中是真的，但在非换元群中是假的。

同样，著名的哥德尔公式在N中是真的，但在其他Peano模型中不是真的（这正是它在Peano中无法证明的原因）。

这是否对你有所帮助？你了解这些吗？还是我误解了你的意思？

柳渝：

@Druuh 我想辨别的是，哥德尔构建的“真但无法证明”的命题是否是存在于PA这样的形式系统中的真实命题，至于此命题是以命题公式还是谓词公式的形式出现的，都可以。

接下来的问题是：

1.如果哥德尔构建的命题在本质上是 "说谎者悖论 "，这意味着哥德尔不完全性定理的证明中可能存在认知偏差。 

2.如果不是，这个命题是什么？它的性质是什么？它是如何建造的？

对于一个命题的可证明性，我觉得Paul引用的那段话有启发："只有数学家才能说一个命题是可证明的，一个命题不能对自己这么说"（Daval & Guilbaud 1945: 45）。