一，“theorem”字源

theorem，拉丁文 theorema，源自古希腊语 θεώρημα, theốrêma (“奇观，盛宴，沉思”), 由θεωρέω, theôréô (“检查，观察，考虑”)演变而来, 后缀为 -μα, -ma, 来自 θέα, thea (“沉思”) 和 ὁράω, horáô (“看”)。theorem，指值得研究的对象。

在数学和逻辑中，定理指一个被证明的断言，也就是说，从已经证明的其他断言或被接受为真的公理。 定理在演绎系统中得到证明，并且是公理系统的逻辑结果。 从这个意义上说，它不同于通过实验获得的科学规律。

二，非形式定义

传统上，定理被表示为由以下元素组成的结构：

- 假设：除了作为理论的一部分已经建立的元素之外，定理中列出的基本条件；

- 结论：定理在基本假设下证明为真的数学或逻辑陈述。

- 证明：由于一个定理有时可以用几种不同的方式证明（勾股定理），只有证明存在这一事实才构成定理，而不是证明的细节。

证明是一系列逻辑推论，涉及基础理论的公理、定理的假设以及先前在该理论框架内建立的结果。

三，形式定义

设 F 是一个公式，T 是一个理论，我们说 F 是 T 的一个定理，如果：

- 语义定义：

T 的所有模型都是 F 的模型，即

对于解释 m 的任何结构，如果 m 是 T 的模型，则 m 是 F 的模型。注意：

如果 m ⊨ T，则 m ⊨ F，或者简而言之：

T ⊨ F

- 语法定义：

有一个来自 T 的 F 的证明，记为 T ⊢ F

四，相关术语

从广义上讲，任何有效证明的断言都可以称为定理。然而，在数学著作中，习惯上将此术语保留用于被认为是新的或特别有趣或重要的陈述。根据它们的重要性或有用性，其他断言可以采用不同的名称：·

引理：断言作为证明更重要定理的中介；

推论：直接从已证明的定理得出的结果；

命题：与特定定理无关的相对简单的结果；

假说：真值未知的数学命题。一旦证明，假说就变成了定理。

可以从一组公理证明的一组断言称为理论。一个命题被说成是相对于它所构建的框架内的理论的定理。这可能是错误的，但命题相对于理论的定理地位只取决于理论与命题之间蕴涵的真实性。

从基本假设和推理规则证明一个定理。

证明，虽然对于将命题分类为“定理”是必要的，但不被视为定理的一部分。

T 可以是空理论，即没有公理。在这种情况下，F 是基本逻辑的定理。在这种情况下，我们说 F 是这种逻辑的重言式。

例如，T 可以是 Euclid 的几何公理或 Peano 的算术。但是，当没有指定 T 时，通常基础理论是带有选择公理的集合论，基础逻辑是经典的一阶谓词演算。

上面的句法和语义定义与构成完备性定理的所有逻辑一致，即大多数通常的逻辑。

如上所述，定理需要基于公理的逻辑推理。它由一系列基本公理和一个推理过程组成，该过程允许将这些公理推导出为新的定理和其他先前已证明的定理。在命题逻辑中，任何被证明的陈述都称为定理。

参考文献：

https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème

https://fr.wiktionary.org/wiki/théorème