毕达哥拉斯的复仇：当代数学

引言

亚里士多德制定了证明的标准，根据其前提在真理方面的地位，区分了三类论述。三者中最严谨的是分析法，其前提必须被承认为无可争辩的事实，其次是辩证法，其前提只是可能的、被普遍接受的而不是真理，最后是修辞学，它对前提的质量没有任何约束（比如小说的话语就有）。在这三类中，亚里士多德根据其证据价值区分了所用的论证类型。

只有分析学才是科学，因此，只有它才应该引导数学证明。然而，在近代，首先是近代，然后是当代，数学家们在论证中越来越多地诉诸于证明价值最弱的论证类型。我们可以理解为，这是数学家证明定理的方式简单颓废的表现。这种解读并没有错，但仍然是不够的，因为它忽略了“意识形态”的转变，它解释了这种转变的方式和原因。这种转变反映了数学家们越来越坚信，他们的任务不是发明的过程，而是真正的发现；换句话说，他们的任务不是为开发一种工具做贡献，而是参与探索一个世界。如果赞同这种观点，科学与数学之间的区别就会变得模糊，科学的雄心是描述客观现实的世界，而数学则提供了实现这一雄心的手段。而这种无差别性又不仅假定了客观-现实是由数和数学对象在它们之间维持的关系构成的，而且假定了最终的不可知的现实，即哲学的“给定-存在”，是这种编码的来源。现在，这样的信念已经得到了历史的证明，而且，我们知道，前苏格拉底神官毕达哥拉斯的弟子的特点，其中就有柏拉图。

如果数学家只是一个发现者而不是发明者，那么他引入证明的方式就不重要了，因为他实际上是在描述一个特定的世界，即数及其关系的世界，他可以满足于用一种类似于实验的方法把它的特质表达出来：把一个现实的东西围起来，并利用自己所掌握的一切手段，以便把它的直观认识表达出来；从这个角度看，无论怎样做，结果是最重要的。我们将特别看到，关于哥德尔的第二定理，他通过该定理证明了算术的不完备性，在他的眼中，他的证明的某些部分的微弱的证明价值并不重要，因为根据他的观点，他的任务包括描述一个本身存在的对象。既然他不把自己看作是数宇宙及其奇异比例的探索者，那么他对靠严谨性才能保证所得结果的方法论就不关心了。

我将提议调和自认为是发现者的现实主义数学家和自认为是发明者的反现实主义数学家的观点，为他们的活动提供一个可操作的定义，让所有将其视为文化产品的产生，也就是说，与我们的空间为自然过程提供延伸的适当方式有关。数学家产生的这种文化产品是一种“虚拟物理学”，鉴于其对我们眼睛的可预测性，允许对敏感的存在-经验世界进行建模。这种虚拟物理学既不拘泥于逻辑学眼中最苛刻的证明模式的无可挑剔的严谨性，也不必想象自己描述的是一个由数学本质构成的客观现实，微积分的发展为我们提供了一个光辉的例证。

我们的演示将以符合批判性观点的方式完成；通过提出一个问题，如果得到肯定的回答，就会对我们所辩论的论点提出质疑：编码的存在，我们在这里的证明肯定会让人们微笑。