人机关系最后落实到算法层次上可以说就表现在人的“判断”与机器的“判定”关系上，希尔伯特第十问题与图灵的回答一起作为“判定问题（Entscheidungsproblem）”，揭示了人的判断与机器的判定之间的不确定性关系，寻找这种不确定性关系的解决就可表达为“判断如何成为算法”。

一，丢番图问题［1］

丢番图问题：给定一个系数均为整数，包含任意个未知数的丢番图方程，设计一个过程，判定该方程是否存在整数解。

10. Determination of the solvability of a diophantine equation

Given a diophantine equation with any number of unknown quantities and with rational integral numerical coefficients: to devise a process according to which it can be determined by a finite number of operations whether the equation is solvable in rational integers.

二，希尔伯特第十问题与图灵的回答［2］

希尔伯特第十问题要求（人）发明或设计（to devise ）一种程式（a process）去判定（determine）任意一个丢番图方程是否有解（暗含一般代数方程是否有代数解），这里实际上存在两个层次上的一致性 —— 对一般性问题能否给予一种具体性的判断，这对一个数学家的工作来说是自然的，数学证明具有这种性质，但现在这个问题更一般，就是在一般性问题与解决方法之间给予一种能行性的判定。图灵不是用“停机问题”基于悖论的证明方式，而是以（人）无法构造出这种能行性（circle－free）的“程式”（process），表达了对希尔伯特第十问题的拒绝——the Hilbert’s Entscheidungsproblem cannot have solution，就是说无法对希尔伯特第十问题回答Yes or No，图灵的“拒绝”不同于对这个问题的解答，图灵也不是回答对一般性问题有（Yes）或没有（No）能行性的判定方法，而是说，这类问题的判断是无法以问题求解的算法方式解决的，这就是著名的“不可判定问题”——作为一般问题是否存在确定性算法，是不可判定的，也就是机器无能的，图灵的意思可以理解为：the Hilbert’s Entscheidungsproblem is a problem for which any machine cannot solve。因此，图灵既不是否定一般性问题，也不是否定具体的方法，而是否定了一般性问题与能行方法之间的具有确定性的关系，“‘判定问题’不可判定”就是，对一般性（判断）问题不存在具体的能行性（判定）方法 —— 这就是我们所强调的希尔伯特第十问题和图灵的拒绝一起作为这个Entscheidungsproblem的本质。在这种理解的基础上，我们可以简要地理解，Entscheidungsproblem （“‘判定问题’不可判定”）就是“人的判断不能等同于机器的判定”。

由此看出，人的判断与机器的判定是二个层次上的问题，Entscheidungsproblem 表明这两种之间的没有确定性的关系，Entscheidungsproblem 并没有否定人的判断与机器的判定，实质上暗示了人的判断与机器的判定之间的不确定性关系，寻找这种不确定性的关系的解决就是“判断如何成为算法”。

三，判断如何成为算法

人们常说，具体的问题总是可以具体地解决的，这首先就要将一般认知性的，通常以自然语言表达的解决问题的方法具体化、形式化，这就是我们所说的“判断如何成为算法”，因此我们说，对于没有确定性算法解决的问题（NP），人可以去寻找最优近似算法（NP－算法，NP-algorithm），比如对“旅行商问题”，可以找到很多的算法（最小生成树、动态规划法、分支界限法、贪心算法……），NP－算法不是对NP的确定性算法，而是以启发式的算法对NP的最优近似表达和求解（“启发式算法”这个术语可用NP－算法表达）。

用某种算法表达出了问题求解，就是解决了”判断如何成为算法”，——数学家们认为马提亚谢维奇(Y. Matijacevic）等解决了希尔伯特第十问题，实际上是指找到了表达求解丢番图方程的一般办法（斐波纳奇数列），由此得出丢番图方程不可判定。

参考资料：

[1] Alan Turing: On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem, https://www.cs.virginia.edu/~robins/Turing_Paper_1936.pdf

[2] David Hilbert: Mathematical Problems, http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html